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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 07.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
f:M-->N sei eine Abbildung. Zeigen Sie:
f injektiv [mm] \gdw [/mm] f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) = f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) für alle M1, M2 [mm] \varepsilon [/mm] P(M).
So was injektiv ist weis ich. Jedem Element von N muss höchstens eins aus M zugehodnet sein. Was Potenzmenge ist weis ich auch. Ich brauch aber nen anstubbs wie ich das ganze nun Zeige. Das das gilt. Danke schonmal.
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> f:M-->N sei eine Abbildung. Zeigen Sie:
>
> f injektiv [mm]\gdw[/mm] f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) = f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) für alle
> M1, M2 [mm]\varepsilon[/mm] P(M).
Hallo,
ich helfe Dir mal, die Behauptung ein wenig zu zerlegen.
Zunächst einmal sind bei der äquivalenz zwei Richtungen zu zeigen.
1: "==>": zu zeigen ist
f injektiv ==> f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) = f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2).
Deine Aufgabeist, nachzuwesen, daß unter der Voraussetzung "f injektiv"
i) jedes Element von [mm] f(M_1 ]\cap M_2) [/mm] in f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) liegt, und daß
ii) jedes Element von f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) in [mm] f(M_1 ]\cap M_2) [/mm] liegt.
Sowohl in i) als auch in ii) starte mit
sei x [mm] \in [/mm] ... , und zeig, daß es auch in der anderen Menge liegt.
Die andere Rixhtung ist
2)[/mm] f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) = f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) für alle M1, M2 [mm]\varepsilon[/mm] P(M) ==> f injektiv
Du willst ja "injektiv" zeigen. Starte mit
Sei f(x)=f(y), und versuch unter Beachtung der Voraussetzung herauszubekommen, daß daraus x=y folgt.
Ich hoffe, daß ich genug geschubst habe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 08.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
ich komm da nich ganz weiter. Ich hab das jetzt z.b so:
f(M1) = {x | x N} , f(M2) = {x | x N}
--> f(M1 n M2) = {x | x N}... das is irgendwie alles das selbe ... also ich weis das sich injektivität so definiert:
"f heißt injektiv, wenn aus m1 ungl. m2 steht f(m1) ungl. f(m2) folgt."..
Weis aber nicht weiter... klappt nicht so recht :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 08.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ohoh, das scheitert ja schon an ganz elementaren Dingen. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Bereits die Definition des Bildes ist falsch. Es gilt:
[mm] $f(M_1) [/mm] = [mm] \{y \in N\, : \, \exists x \in M_1\, : \, f(x)=y\}$.
[/mm]
So, jetzt fangen wir mal an.
Zunächst sein $f$ als injektiv vorausgesetzt.
Sei $y [mm] \in f(M_1 \cap M_2)$ [/mm] beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist $y [mm] \in f(M_1) \cap f(M_2)$. [/mm] Nach Definition (siehe oben) gibt es ein $x [mm] \in M_1 \cap M_2$ [/mm] mit $f(x)=y$. Dann gilt aber auch $x [mm] \in M_1$, [/mm] also: $y=f(x) [mm] \in f(M_1)$ [/mm] und $x [mm] \in M_2$, [/mm] also: $y =f(x) [mm] \in f(M_2)$ [/mm] und daraus dann: $y = [mm] f(M_1) \cap f(M_2)$. [/mm] Bis hierher haben wir die Injektivität gar nicht gebraucht. Die kommt jetzt ins Spiel, wenn wir [mm] $f(M_1) \cap f(M_2) \subset f(M_1 \cap M_2)$ [/mm] zeigen wollen. Sei dazu $y [mm] \in f(M_1) \cap f(M_2)$ [/mm] beliebig vorgegeben, es gilt also: $y [mm] \in f(M_1)$ [/mm] und $y [mm] \in f(M_2)$. [/mm] Nach Definition gibt es [mm] $x_1 \in M_1$ [/mm] und [mm] $x_2 \in M_2$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=y$ [/mm] und [mm] $f(x_2)=y$. [/mm] Nun ist aber $f$ injektiv, d.h. aus [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] folgt [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2 \in M_1 \cap M_2$. [/mm] Wir haben also: $y [mm] \in f(M_1 \cap M_2)$.
[/mm]
Jetzt zur Umkehrung: Es gelte: [mm] $f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] f(M_1) \cap f(M_2)$ [/mm] für alle Teilmengen [mm] $M_1,\, M_2 \subset [/mm] M$.
Es seien nun $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit $f(x) = f(y)$ beliebig gewählt. Um zu zeigen, dass $f$ injektiv ist, müssen wir auf $x=y$ schließen. Aus $f(x) = y$ folgt aber: $f(y) [mm] \in f(\{x\})$, [/mm] also:
(*) $f(y) [mm] \in f(\{x\}) \cap f(\{y\})$. [/mm]
Nach Voraussetzung ist dies aber gleich [mm] $f(\{x\} \cap \{y\})$. [/mm] Wäre nun $x [mm] \ne [/mm] y$, so wäre [mm] $\{x\} \cap \{y\} [/mm] = [mm] \empytset$ [/mm] und damit auch
[mm] $\emptyset [/mm] = [mm] f(\{x\} \cap \{y\}) [/mm] = [mm] f(\{x\}) \cap f(\{y\})$,
[/mm]
im Widerspruch zu (*).
Daher muss doch $x=y$ gelten.
Jetzt aber nicht einfach nur abschreiben, sondern bitte Zeile für Zeile nachvollziehen, bis du alles verstanden hast. Und auch wenn es acht Stunden dauern sollte... Du hast sonst nichts davon und bekommst auch in Zukunft solch extrem leichte Aufgaben nicht alleine hin (und die Aufgaben werden ja deutlich schwieriger).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Di 08.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ok vielen Dank. Sehr viel verstehe ich noch nicht aber ich gebe mir die größte mühe. Ich hab momentan das Problem das ich 5 Aufgabenblätter pro woche bekommen. 2 Davon in Analysis und Lineare Algebra mit je 5 Aufgaben. also 10 stück.. das ist echt hart.. und dann muss ich noch zeit finden den vorlesungsstoff nachzuarbeiten... :(.... vielen dank!
MfG
MissYumi
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