Zeigen Sie, (Integralkriterium < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:14 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe hier mal wieder eine Aufgabe, bei der etwas zu zeigen ist! Und zwar:
Zeigen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, dass die folgende Reihe für alle [mm] \alpha\in\IR [/mm] > 1 konvergiert:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k*(ln(k))^{\alpha}}
[/mm]
? Wie ist dies zu machen?
lg Surfer
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> Hallo, habe hier mal wieder eine Aufgabe, bei der etwas zu
> zeigen ist! Und zwar:
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> Zeigen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, dass die
> folgende Reihe für alle [mm]\alpha\in\IR[/mm] > 1 konvergiert:
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k*(ln(k))^{\alpha}}[/mm]
>
> ? Wie ist dies zu machen?
>
> lg Surfer
Hi,
berechne das Integral [mm] $\int \bruch{1}{k*(ln(k))^{\alpha}} [/mm] dx$, idem du $t:=ln(k)$ substituierst. An dem Integral kannst du leicht ablesen, wann Konvergenz vorliegt.
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Surfer |
ich komme beim integrieren irgendwie auf:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{k*u^{\alpha-1}} dt} [/mm] aber das geht a irgendwie nicht, was müsste denn dastehen, wo is mein Fehler?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Sa 21.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hat denn u mit t zu tun?
Schreib doch wirklich gleich auf, was du machst: Aufgabe , Ziel , Weg
schreib für k x
dann u=lnx du=....
einstzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok ich komme dann natürlich auf [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t^{\alpha}} dt} [/mm] und nun seh ich ja , dass dies für alpha > 1 konvergiert, aber stimmt das auch für die Reihe?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Sa 21.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) was ist denn das Integralkriterium?
b) wie findet man ne Näherung für das Integral?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Naja. über das Integralkriterium kann ich ja zeigen, mit denselben Schranke wie für die Reihe, dass eben die Reihe konvergiert!
d.h. [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{t^{\alpha}} dt} [/mm] und integriert wäre dies:
[mm] [-\bruch{1}{\alpha}*t^{-\alpha +1} [/mm] ] mit den Schranke von 2 bis unendlich ?
Aber wie komme ich jetzt vollends auf den Punkt, damit ich sagen kann es konvergiert?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Sa 21.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Das Integral ist nur für [mm] \alpha\ne [/mm] 1 richtig.
setz mal [mm] a)\alpha=1, [/mm] b [mm] \alpha=0,9 [/mm] usw. und überleg.
Mit welchen Untersummen für das Integral kannst du denn vergleichen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo Leduart,
was meinst du mit vergleichen? Für welche Wert das Integral gilt meinst du oder? von -1 < x < 1 oder?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 23.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh die Frage eigentlich nicht, das Integral geht doch bis Unendlich?
was soll das mit dem x in deinem Intervall zu tun haben?
die Frage war doch für welche [mm] \alpha [/mm] die Summe (bzw das Integral) konvergiert?
und das x entspricht dem k
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo,
also mein integriertes ist ja:
> d.h. [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{t^{\alpha}} dt}[/mm] und
> integriert wäre dies:
> [mm][-\bruch{1}{\alpha}*t^{-\alpha +1}[/mm] ] mit den Schranke von
> 2 bis unendlich ?
>
Wenn ich für [mm] \alpha [/mm] zahlen einsetze < 1 divergiert sie oder? wie bei der harmonische Reihe, deswegen konvergiert die Summe für Werte ab 2 bis unendlich?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 23.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso grade ab 2?
Und schreib genauer ! Werte für was?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Also wenn ich folgendes integriertes ja habe:
[ [mm] -\bruch{1}{\alpha} [/mm] * [mm] ln(k)^{-\alpha+1} [/mm] ] mit den Schranke von 2 bis unendlich
warum soll das dann nur für [mm] \alpha [/mm] >1 konvergieren? ich komm nicht drauf?
probier gerade ständig andere Werte...
lg Surfer
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[mm] \alpha>1 [/mm] heißt doch, dass der Exponent am ln negativ wird und damit der ln-Ausdruck im Nenner eines Bruches steht.
Da mit steigenden k-Werten auch der ln-Wert nach [mm] \infty [/mm] steigt, steigen die Nenner auch nach [mm] \infty, [/mm] der Bruch geht also nach Null und du hast eine Nullfolge. Nur dann kann eine Reihe überhaupt konvergieren (muss aber nicht).
[mm] \alpha=1 [/mm] liefert für den ln-Ausdruck lauter 1-en [mm] (Zahl^0=1), [/mm] die [mm] \infty-oft [/mm] aufsummiert werden ==> Divergenz
[mm] \alpha<1 [/mm] liefert für den ln-Exponenten positive Werte, der ln-Ausdruck geht mit steigendem k gegen [mm] \infty [/mm] und damit auch die Summanden ==>Divergenz
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