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Zeigen der Beschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Di 24.10.2006
Autor: kitamrofni

Aufgabe
Sei M = {n/m; n,m aus [mm] \IN [/mm] }

Zeigen Sie, dass M nicht beschränkt ist, indem Sie für alle N > 0 (diese Notation impliziert N aus [mm] \IR, [/mm] sofern nicht explizit etwas anderes gegeben ist) ein x aus M angeben mit |x|>= N.

Hallo,

Bin unglücklicher Informatik-Ersti und brauche Hilfe.

(1. Frage) Die Menge M kann man auch als M = {x aus [mm] \IQ; [/mm] x > 0} definieren, da n und m aus [mm] \IN [/mm] sind, richtig?

Bin jetzt bei der Beschränktheit ziemlich verwirrt... In der Wikipedia steht: "Eine Menge S reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k mit k >= s für alle s aus S gibt. Jede solche Zahl k heißt obere Schranke von S. Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind analog definiert."

(2. Frage) Müssen wir hier zeigen, dass die Menge M nicht nach oben beschränkt ist?

Wenn wir hier aber M = [mm] \IQ [/mm] positiv und das N > 0 noch aus [mm] \IR [/mm] haben, wie soll man dann mit der Beschränktheit umgehen?

Ich habe versucht die Definition aus Wikipedia anzuwenden, aber da kriegt man dann was Komisches heraus: Die Menge M heißt nach oben beschränkt, wenn es ein N > 0 (N aus [mm] \IR) [/mm] mit |x| >= N für alle x aus M gibt.

In der Aufgabenstellung steht aber gerade umgekehrt: "für alle
N > 0 ein |x| >= N angeben".

(3. Frage) Wie soll man denn eigentlich dies alles "angeben"?

Ich bin total verwirrt. Bitte um Hilfe. Schönen Dank.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zeigen der Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:42 Mi 25.10.2006
Autor: DaMenge

Hi,

ja, du sollst zeigen, dass M NICHT beschränkt ist, also ist es logisch, dass in der Aufgabe genau das Gegenteil von der Wiki-Definition von beschränktheit steht, oder?

also schau dir doch mal deine Menge M an - m=1 ist auch immer möglich, oder?
Also weißt du dass jedes n aus [mm] $\IN$ [/mm] mit [mm] $\bruch{n}{1}$ [/mm] in M vorhanden ist.

jetzt kommt der Beweis der Nicht-Beschränktheit:
Angenommen M wäre beschränkt, dann gibt es ein K mit K>=s für jedes s aus M.
wähle die nächst größere natürliche Zahl n' über K.
(du kannst ein beliebige größere Zahl nehmen z.B "(k+1) aufgerundet")

dann weiß man, dass mit [mm] $\bruch{n'}{1}=:s$ [/mm]  ein gößeres s in M existiert, was einen Widerspruch darstellt, und damit kann M nicht (nach oben) beschränkt sein.

viele Grüße
DaMenge


Bezug
                
Bezug
Zeigen der Beschränktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:15 Mi 25.10.2006
Autor: kitamrofni

Hi,

Es geht. Danke nochmals.

Schöne Grüße

Bezug
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