Zeigen f löst AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Es werde das AWP y'=A(t)*y, [mm] y(0)=(\lambda,0)^T [/mm] betrachtet, wobei:
[mm] A(t)=\pmat{ -1+\bruch{3}{2} cos^2(t) & 1-\bruch{3}{2}cos(t)sin(t) \\ -1-\bruch{3}{2} cos(t)sin(t) & -1+\bruch{3}{2}sin^2(t) }
[/mm]
(a)Bestimmen sie die Eigenwerte der Matrix
(b)Zeigen Sie, dass die folgende Funktion eine Lösung des Anfangswertproblems ist. y(t)= [mm] \lambda \vektor{-cos(t) \\ sin(t)} e^{t/2}
[/mm]
(c)Wie verhält sich die Lösung aus Aufgabenteil (b) für t [mm] \to \infty [/mm] |
(a) habe ich bereits gelöst und die Eigenwerte:
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(-1+i\wurzel{7})
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(-1-i\wurzel{7})
[/mm]
Bei (b) liegt jetzt mein Problem:
Was muss ich nun genau ziegen? Reicht es wenn ich den Anfangswert überprüfe für y'=A(t)*y oder muss ich komplett allgemein zeigen, dass die Gleichung gilt?
Zweiteres hab ich versucht und habe auf der rechten Seite. irgendwelche ekligen Terme mit sin und cos raus, die sich auch nicht mehr vereinfachen lassen
(c) Für t [mm] \to \infty [/mm] geht [mm] e^{t/2} [/mm] gegen undendlich und die Vektor Einträge bewegen sich aufgrund von sin und cos immer im geschlossenen Intervall -1 und 1. Deshalb wird die Lösung im undendlich nicht unendlich?! Beeinflusst das [mm] \lambda [/mm] das Verhalten im unendlichen? So, dass die Lösung unendlich werden kann wenn [mm] \lambda [/mm] groß genug ist?
|
|
| |
|
Hallo,
> Es werde das AWP y'=A(t)*y, [mm]y(0)=(\lambda,0)^T[/mm] betrachtet,
> wobei:
> [mm]A(t)=\pmat{ -1+\bruch{3}{2} cos^2(t) & 1-\bruch{3}{2}cos(t)sin(t) \\ -1-\bruch{3}{2} cos(t)sin(t) & -1+\bruch{3}{2}sin^2(t) }[/mm]
>
> (a)Bestimmen sie die Eigenwerte der Matrix
> (b)Zeigen Sie, dass die folgende Funktion eine Lösung des
> Anfangswertproblems ist. y(t)= [mm]\lambda \vektor{-cos(t) \\ sin(t)} e^{t/2}[/mm]
>
> (c)Wie verhält sich die Lösung aus Aufgabenteil (b) für
> t [mm]\to \infty[/mm]
> (a) habe ich bereits gelöst und die
> Eigenwerte:
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}(-1+i\wurzel{7})[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}(-1-i\wurzel{7})[/mm]
OK, die sind richtig.
Bemerkenswert ist aber, dass die Eigenwerte gar nicht von t abhängen.
> Bei (b) liegt jetzt mein Problem:
> Was muss ich nun genau ziegen? Reicht es wenn ich den
> Anfangswert überprüfe für y'=A(t)*y oder muss ich
> komplett allgemein zeigen, dass die Gleichung gilt?
Du musst komplett zeigen, dass $y'(t) = A(t)*y(t)$ für alle $t$ gilt.
Du kannst ja mal hier hinschreiben, wie weit du gekommen bist.
Evtl. habt ihr aber auch in der Vorlesung irgendwelche Sätze gehabt, womit man jetzt die DGL lösen kann, wenn man die Eigenwerte von $A(t)$ kennt?
> (c) Für t [mm]\to \infty[/mm] geht [mm]e^{t/2}[/mm] gegen undendlich und
> die Vektor Einträge bewegen sich aufgrund von sin und cos
> immer im geschlossenen Intervall -1 und 1. Deshalb wird die
> Lösung im undendlich nicht unendlich?!
Zweierlei Dinge sind festzuhalten:
Die Lösung entspricht einer Art "Schraubenlinie".
Siehe dazu den "Parametric Plot" (ganz unten) hier: ![[]](/images/popup.gif) Wolframalpha.
Und diese geht zwar nicht "geordnet" gegen unendlich, aber der Betrag der Lösung, also
||y(t)|| = [mm] |\lambda| \cdot e^{t/2}
[/mm]
geht durchaus gegen Unendlich!
> Beeinflusst das
> [mm]\lambda[/mm] das Verhalten im unendlichen? So, dass die Lösung
> unendlich werden kann wenn [mm]\lambda[/mm] groß genug ist?
Nein, das [mm] $\lambda$ [/mm] beeinflusst das Verhalten der Lösung für $t [mm] \to \infty$ [/mm] gar nicht. Es ist nur ein Skalierungsfaktor (die Lösung geht höchstens "schneller" oder "langsamer" gegen Unendlich).
Ein Spezialfall ist aber [mm] $\lambda [/mm] = 0$.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
