Zeigen sie bei R in A x A... < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei R eine Relation in einem nichtleeren kartesischen Mengenprodukt der Form A x A. Zeigen sie:
(i) Wenn R zugleich vollständig und symmetrisch ist, gilt R = A x A
(ii) Wenn R zugleich antisymmetrisch und symmetrisch ist, gilt R = id (Identität)
(iii) Keine Relation ist zugleich vollständig, symmetrisch und antisymmetrisch. |
Wie gehe ich an die oben angegebenen Aufgaben heran? Könnte man mir das vielleicht exemplarisch einmal zeigen? Und was genau bedeutet Identität?
Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/65100/relation-r-in-a-x-a-ausserdem-was-heisst-identitat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Di 19.11.2013 | | Autor: | Bazinga123 |
| Aufgabe | Es sei R eine Relation in einem nichtleeren kartesischen Mengenprodukt der Form A x A.
Zeigen Sie:
(i) Wenn R zugleich vollständig und symmetrisch ist, gilt R = A x A:
(ii) Wenn R zugleich antisymmetrisch und symmetrisch ist, gilt R = id (Identität).
(iii) Keine Relation ist zugleich vollständig, symmetrisch und antisymmetrisch |
Fragen:
Zu (i): Was heißt hier R = A x A? Und welche Relationsart ist R überhaupt? Ich habe hier anscheinend grundlegende Probleme mit Relationen. Wie kann ich feststellen, was R genau für eine Relation (z.b. <) ist? Oder sagt mir das bereits der Ausdruck?
Zu (ii): id heißt Identität, was laut Handbuch des Kurses als x=y beschrieben wird. Ist das korrekt? Und auch hier: Wie kann ich das beweisen? Mir fehlt offensichtlich der Ansatz.
Zu (iii): Wie soll ich das überprüfen? Am besten alle Relationen, die ich kenne? (z.B. Teilbarkeitsrelation, Kleinerrelation etc.) Natürlich an A x A
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Di 19.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei R eine Relation in einem nichtleeren kartesischen
> Mengenprodukt der Form A x A.
> Zeigen Sie:
> (i) Wenn R zugleich vollständig und symmetrisch ist, gilt
> R = A x A:
> (ii) Wenn R zugleich antisymmetrisch und symmetrisch ist,
> gilt R = id (Identität).
> (iii) Keine Relation ist zugleich vollständig,
> symmetrisch und antisymmetrisch
> Fragen:
>
> Zu (i): Was heißt hier R = A x A?
R ist eine Teilmenge von A x A.
Zeigen sollst Du: ist R vollständig und symmetrisch, so ist notwendigerweise R=A x A
> Und welche Relationsart
> ist R überhaupt? Ich habe hier anscheinend grundlegende
> Probleme mit Relationen. Wie kann ich feststellen, was R
> genau für eine Relation (z.b. <) ist? Oder sagt mir das
> bereits der Ausdruck?
>
> Zu (ii): id heißt Identität, was laut Handbuch des Kurses
> als x=y beschrieben wird. Ist das korrekt? Und auch hier:
> Wie kann ich das beweisen? Mir fehlt offensichtlich der
> Ansatz.
R=id bedeutet: [mm] R=\{(x,x):x \in A\}.
[/mm]
>
> Zu (iii): Wie soll ich das überprüfen? Am besten alle
> Relationen, die ich kenne? (z.B. Teilbarkeitsrelation,
> Kleinerrelation etc.) Natürlich an A x A
Nimm an, es gäbe eine Relation , die vollständig, symmetrisch und antisymmetrisch ist. Führe das auf einen Widerspruch.
FRED
>
> LG
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| Aufgabe | | Zeigen sollst Du: ist R vollständig und symmetrisch, so ist notwendigerweise R=A x A |
Hallo Fred!
Durch die Symmetrie stellen wir ja fest, dass (x,y) [mm] \in [/mm] A:
x R y => y R x ist. Es kann also nicht < sein, sondern nur [mm] \le [/mm] oder = (Was doch hier identisch ist, oder?) Heißt das, dass in der Folge (V) nur für = zutrifft? Weil theoretisch ja auch [mm] \le [/mm] zutrifft. Ich fürchte, ich bin noch nicht ganz so sicher darin, was letztlich hier "beweisen" heißt.
LG
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| Aufgabe | | Zeigen sollst Du: ist R vollständig und symmetrisch, so ist notwendigerweise R=A x A |
Meine Überlegung:
Gegeben:
Symmetrie: ∀x,y ∈ A: x R y => y R x
Vollständigkeit: ∀x,y ∈ A: x R y oder y R x
Daraus folgt: Durch die Symmetrie ist gezeigt, dass (x,y) immer in der gleichen Relation steht wie (y,x). Damitist die Vollständigkeit in jedem Fall wahr. Kann ich diese Erkenntnis in der Vollständigkeit benutzen, um zu zeigen, dass für absolut alle Paare (x,y) ∈ A und (y,x) ∈ A gilt, dass sie auch ∈ von R sind? (Da (x,y) ∈ R = x R y)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Mi 20.11.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeigen sollst Du: ist R vollständig und symmetrisch, so
> ist notwendigerweise R=A x A
> Meine Überlegung:
>
>
>
> Gegeben:
>
> Symmetrie: ∀x,y ∈ A: x R y => y R x
>
> Vollständigkeit: ∀x,y ∈ A: x R y oder y R x
>
> Daraus folgt: Durch die Symmetrie ist gezeigt, dass (x,y)
> immer in der gleichen Relation steht wie (y,x).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damitist
> die Vollständigkeit in jedem Fall wahr.
Nein, denn die Symmetrie sagt nur aus, wenn (x,y) [mm] $\in$ [/mm] R,
dann ist auch (y,x) [mm] $\in$ [/mm] R.
> Kann ich diese
> Erkenntnis in der Vollständigkeit benutzen, um zu zeigen,
> dass für absolut alle Paare (x,y) ∈ A und (y,x) ∈ A
> gilt, dass sie auch ∈ von R sind? (Da (x,y) ∈ R = x R
> y)
Es heißt nicht (x,y) [mm] $\in$ [/mm] A, sondern (x,y) [mm] $\in$ [/mm] A [mm] $\times$ [/mm] A.
Aber x,y [mm] $\in$ [/mm] A kannst du schreiben.
Die Vollständigkeit von R bedeutet: für jedes (x,y) [mm] $\in$ [/mm] A [mm] $\times$ [/mm] A, ist
(x,y) [mm] $\in$ [/mm] R oder (y,x) [mm] $\in$ [/mm] R.
Wenn du zuerst die Vollständigkeit nimmst, und dann die Symmetrie,
kommst du auf R = A [mm] $\times$ [/mm] A.
Gruß
meili
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