Zeigen von 2 Nullfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] b_{n}:= betrag(a_{n}) [/mm] + 1 - [mm] \wurzel((a_{n})^{2} [/mm] + 1). Zeigen Sie: Ist [mm] b_{n} [/mm] eine Nullfolge, dann auch [mm] a_{n}. [/mm] |
Bei [mm] b_{n} [/mm] muss man ja nur zeigen ob es ein [mm] \varepsilon \ge [/mm] 0 gibt ab dem jedes weitere folgenglied [mm] n_{0} [/mm] in diese [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung fällt.
Meine Frage wäre jetzt, wie man zeigt dass auch [mm] a_{n} [/mm] gegen 0 konvergiert. Muss man dafür den Therm umformen oder gibts da einen bestimmten Trick?
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Moin,
> Sei [mm]b_{n}:= betrag(a_{n})[/mm] + 1 - [mm]\wurzel((a_{n})^{2}[/mm] + 1).
> Zeigen Sie: Ist [mm]b_{n}[/mm] eine Nullfolge, dann auch [mm]a_{n}.[/mm]
[mm] b_n=|a_n|+1-\sqrt{a_n^2+1}=\frac{(|a_n|+1-\sqrt{a_n^2+1})(|a_n|+1+\sqrt{a_n^2+1})}{|a_n|+1+\sqrt{a_n^2+1}}=\frac{(|a_n|+1)^2-(a_n^2+1)}{|a_n|+1+\sqrt{a_n^2+1}}=\frac{2|a_n|}{|a_n|+1+\sqrt{a_n^2+1}}
[/mm]
Für [mm] a_n\neq [/mm] 0 kannst du die Gleichung mit [mm] |a_n| [/mm] kürzen. Dann siehst du ganz leicht, dass [mm] a_n\to0 [/mm] gelten muss, wenn [mm] b_n\to0,n\to\infty.
[/mm]
LG
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