Zeigen von Äquivalenzen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Seien X eine Menge und A, B zwei Teilmengen von X. Zeige:
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A [mm] \gdw [/mm] A - B = [mm] \emptyset \gdw [/mm] (X - A) [mm] \cup [/mm] B = X |
Hallo ihr alle,
ich bin jetzt Ersti und hab die ersten Aufgaben bekommen. Manche versteh ich wohl und kann die auch bearbeiten und bei der glaube ich auch die Grundzüge verstanden zu haben, aber ich weiß einfach nicht wie ich die Äquivalenz zeigen soll. Wäre also wirklich nett wenn jemand mir ein paar Tips und Anregungen geben könnte wie ich die Äquivalenz zeigen kann.
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Sa 20.10.2007 | | Autor: | jno |
Hallo!
Um eine Äquivalenz von 2 Aussagen [mm] $A\Leftrightarrow [/mm] B$ zu zeigen, musst du immer "2 Richtungen" beweisen,
also die beiden Implikationen $A [mm] \Rightarrow [/mm] $B und $A [mm] \Leftarrow [/mm] B$. In deinem Beispiel würdest du die zB
die 1. Äquivalenz herausgreifen und zuerst beweisen, dass $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B$.
Das würde zB so funktionieren:
$A [mm] \subseteq [/mm] B $ bedeutet, dass [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] B$ . Da in der Vereinigung von A und B alle Elemente
aus beiden Mengen enthalten sind und alle Elemente in A auch in B liegen (und die Elemente natürlich nicht doppelt gezählt
werden) folgt sofort: $A [mm] \cup [/mm] B = B$. Jetzt müsstest du noch die Richtung $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Leftarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B$ beweisen,
das geht ziemlich analog. Stell dir A als einen Kreis in einem größeren Kreis B vor. Nachdem du die erste Äquivalenz bewiesen hast, kannst du mit der 2. genauso weiter machen, und
entweder die 1. oder 2. Aussage einsetzen, je nachdem was leichter fällt.
Gruß
Jens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo Jens,
danke schonmal!
also das mit dem Kreis hatte ich mir auch schon vorgestellt und es so auch verstanden! Dass ich das in beide Richtungen beweisen muss, davon habe ich auch schonmal gehört  Ich will das auch gerne machen, aber ich weiß grad echt nicht wie ich das "mathematisch korrekt" mache.
Was genau heißt der Doppelpunkt
[mm]\forall x \in A : x \in B[/mm] da? "gilt" oder was anderes? Den habe ich in meinen Vorlesungen und so nämlich noch nie gesehen.
Wäre es dann vielleicht so oder so ähnlich:
A [mm] \subseteq [/mm] B : [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A gilt x [mm] \in [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B
Also irgendwie ist mir das ja klar, aber wie schreib ich das halt auf, dass für alle x aus A gilt, dass sie auch in B liegen und dass dann die Vereinigung dieser beiden Mengen zwangsläufig die Menge B ist?
lg Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 20.10.2007 | | Autor: | jno |
> Was genau heißt der Doppelpunkt
> [mm]\forall x \in A : x \in B[/mm] da? "gilt" oder was anderes? Den
> habe ich in meinen Vorlesungen und so nämlich noch nie
> gesehen.
>
Also, ich habe den Doppelpunkt für "es gilt folgendes..." verwendet, bei uns in der Vorlesung wurde
das auch mal so gemacht, ob es da eine einheitliche Regelung für gibt, kann ich dir nicht sagen.
> Also irgendwie ist mir das ja klar, aber wie schreib ich
> das halt auf, dass für alle x aus A gilt, dass sie auch in
> B liegen und dass dann die Vereinigung dieser beiden Mengen
> zwangsläufig die Menge B ist?
$A [mm] \subseteq [/mm] B$ ist gerade so definiert, dass für alle x aus A gilt, dass sie auch in B enthalten sind, was formalisiert so aussehen würde: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B$. Noch formaler könnte man die Implikation jetzt so beweisen:
Sei $C:= A [mm] \cup [/mm] B$. Jetzt gilt: $ [mm] \left(\forall x \in A, \forall y \in B: x,y \in C \right)\wedge\left(\forall x \in A: x \in B\right)\Rightarrow [/mm] C=B$. Die 1. Aussage links vom "und"-Zeichen folgt aus der Definition der Vereinigung, die 2. Aussage rechts folgt aus unserer Annahme. Das wäre jetzt sehr formal, aber man kann das auch durchaus mit ein bisschen Text beweisen, solange er verständlich und präzise ist  .
Gruß
Jens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo Jens,
danke dir für die Hilfe! Ich denke ich habe alles so ziemlich hingekriegt, außer die letzte Äquivalenz, aber auch die werde ich noch meistern :) Hat mir wirklich geholfen, deine Tipps!
lg Elfe
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