Zeigermodell am Einzelspalt < Optik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo!
Der Zeigerformalismus von Feynman hat ja Einzug in die Schulphysik bekommen. Damit kann wunderbar die Intensitätverteilung am Mehrfachspalt (Entstehung von Nebenmaxima) und hinter einem Einfachspalt erklären.
Das die Zeigerkette doch recht mühsam ist, von Hand zu zeichnen, hatte ich vor einiger Zeit (zur Entstehung gibt es hier in diesem Forum einen Thread, da habe ich ganz toll Hilfe von Euch bekommen  ) ein Tool mit GeoGebra gebastelt.
Folge(Vektor(Summe((cos(alpha (t - 1) / 360 * 2π), sin(alpha (t - 1) / 360 * 2π)), t, 1, q), Summe((cos(alpha (t - 1) / 360 * 2π), sin(alpha (t - 1) / 360 * 2π)), t, 1, q + 1)), q, 0, l - 1)
(Der Startvektor wird seperat geplottet)
Hier ein paar Bilder dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nun sollte es beim Einzelspalt so sein, dass man mit Hinzunahme von mehr Zeigern (feinere Partitionierung der Intensität im Spalt) der einzelne Zeiger kürzer werden. Also wenn nur 1 Zeiger vorhanden ist, so repräsentiert dieser $I_{1}=100\%$ der Intensität präsentiert. Er habe die Länge "1" (Einheit hier egal).
Zeichne ich hingegen 10 Zeiger in den Spalt, so hat jeder I = 1/10 der Ausgangsintensität, also $I_{10}=10\%$. Hingegen ist die Länge (Amplitude A) des Einzelzeigers nun die Wurzel aus 1/10, da nach Malus $A^2=I$ gilt.
Wenn obige Bildserie nun Zeigerketten zu einer erst zweifach, dann für vierfach und dann achtfach-Partionierung entsprechend sich die Zeigerlänge der Einzelzeiger von Bild zu Bild ver-$\frac{1}{\sqrt{2}$-fachen.
Dies würde ich gern in GeoGebra einbauen. Ich habe dies versucht mit
Folge(Vektor(Summe((cos(alpha (t - 1) / 360 * 2π) * 1 / l^0.5, sin(alpha (t - 1) / 360 * 2π)) * 1 / l^0.5, t, 1, q), Summe((cos(alpha (t - 1) / 360 * 2π) * 1 / l^0.5, sin(alpha (t - 1) / 360 * 2π)) * 1 / l^0.5, t, 1, q + 1)), q, 0, l - 1)
wobei $l$ (kleines "L") die Anzahl der Zeiger angibt. Wie man sieht, habe ich beide Komponenten aller Vektoren mit die Faktor $\frac{1}{l^2}$ multipliziert. Dies erscheint mir logisch.
Aber dabei kommt leider Murks heraus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man sieht, dass die Zeiger abhängig von ihrer Richtung gekürzt werden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ergänzung:
Ich habe inzwischen herausgefunden, dass ich den Verkleinerungsfaktor [mm] $k=l^{0,5}$nur [/mm] in der y-Komponente schreiben darf, also a la
falsch
[mm] $\sum_i^n(k\cdot x_i,k\cdot y_i)$
[/mm]
funktionieren würde
[mm] $\sum_i^n(x_i,k\cdot y_i)$
[/mm]
also mit zweitem erhalte ich eine Zeigerkette, wo die Länge jedes Zeigers gleichmaßen mit dem Faktor kleiner wurde. Damit ist mein Problem eigentlich gelost.
Aber ich verstehen nicht, warum das so ist. Es erscheint unlogisch.
Also bei einem einzelnen Vektor [mm] $\vec{v}=(x,y)$, [/mm] mit [mm] $\sqrt{x^2+y^2}=1$
[/mm]
gilt ja, dass $k$ die Länge ist, wenn [mm] $\vec{v}(k)=(k\cdot x,k\cdot [/mm] y)$.
Wenn ich jetzt einfach das $k$ in einer Komponente weglasse, dann geht das doch eigentlich kaputt, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Fr 14.02.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Riesenradfahrrad,
Ich kann Dir leider nichts zur Semantik Deines Geogebra-Befehls sagen, aber zur mathematischen Beruhigung möchte ich doch schnell loswerden, dass Deine Überlegungen richtig sind. Soll ein Vektor v nur noch ein k-tel der Länge des Vektors w haben, aber in dieselbe Richtung deuten, so teilt man die Koordinaten des Vektors durch den Faktor k (der in diesem Falle größer als 1 ist).
Hast Du einen Ortsvektor zum Punkt (4,3) gegeben, so beträgt dessen Länge genau 5. Der Ortsvektor in der gleichen Richtung zu einem Punkt, dessen Ortsvektor gerade halb so lamg sein, das ist der Punkt (2, 3/2).
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Sa 15.02.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo an Alle,
Riesenradfahrrad hat nach seinen eigenen Worten eine Lösung für das oben geschilderte Problem gefunden, wenn diese auch aus mathemetischer Sicht nicht so ganz einleuchtet. Aus diesem Grunde stelle ich die Frage mal auf "halb beantwortet. Wer weiß, weswegen diese Syntax in GeoGebra funktioniert, kann dies gerne noch allen Anderen mitteilen.
Viele Grüße,
Infinit
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@Infinit
Trotzdem danke für Deine Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 26.02.2025 | | Autor: | chrisno |
Hallo Riesenfahrrad,
sieh mal die Klammern durch. Das [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] hängt einmal am cos-Term und danach am Vektor mit ( cos und sin).
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@chrisno
Danke für Deine Antwort.
Ich habe den Term durchgeschaut. Ich finde den Faktor insgesamt vier mal, in zwar in dieser Art:
[mm] $(k*x_i,k*y_i)+(k*x_{i+1},k*y_{i+1})$
[/mm]
Natürlich könnte man auch kürzer
[mm] $k*\left((x_i,y_i)+(x_{i+1},y_{i+1})\right)$
[/mm]
aber letzteres führt zum gleichen Fehler.
(Nachtrag: bei mir sehe ich zwar in der Vorschau Formeln, jedoch nicht im finalen Post...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Sa 08.03.2025 | | Autor: | chrisno |
Ich sehe die Formeln. Das System ist sehr langsam.
Nimm Dir einen Editor, der die Klammerpaare markiert.
Ich nehme einen der beiden Terme.
[mm] Summe($\red($cos$\green($alpha [/mm] (t - 1) / 360 * [mm] 2π$\green)$ [/mm] * 1 / $ [mm] l^{0.5}$, [/mm] sin(alpha (t - 1) / 360 * [mm] 2π)$\red)$ [/mm] * 1 / $ [mm] l^{0.5}$, [/mm] t, 1, q)
Wie ich geschrieben habe, hängt das erste /$wurzel{l}$ (grüne Klammern) direkt am Kosinus-Term.
Das zweite /$wurzel{l}$ (rote Klammern) hängt hingegen nicht direkt am Sinus-Term, sondern an dem Vektor, also an Sinus- und Kosinus-Term den beiden Komponenten des Vektors.
Da das ausreicht, ist auch klar, warum Du das /$wurzel{l}$ an der grünen Klammer weglassen kanst.
Nebenbemerkung: Ist das *1 wirklich nötig?
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