Zeilenumformungen in \IF_{2} < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K der Körper mit zwei Elementen und A eine (n [mm] \times [/mm] m)-Matrix mit Koeffizienten aus K. richtig oder falsch?
1.) A lässt sich ausschließlich durch elementare Zeilenumformungen von
vom Typ I auf eine Matrix B in Zeilenstufenform mit allen Koeffizienten
aus K bringen
2.) A lässt sich ausschließlich durch elementare Zeilenumformungen von
vom Typ II auf eine Matrix B in Zeilenstufenform mit allen Koeffizienten
aus K bringen
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Hallo!
Also, Typ I und Typ II sind bei uns wie folgt definiert:
Es sei [mm] \alpha \in [/mm] K* (K* = K\ {0})
Typ I: [mm] \vektor{ ... \\ a_{i} \\ ... } \mapsto \vektor{ ... \\ \alpha * a_{i} \\ ... } [/mm] Typ II: [mm] \vektor{ ... \\ a_{i} \\ ... \\ a_{j} \\ ...} \mapsto \vektor{ ... \\ a_{i}+a_{j} \\ ... \\ a_{j} \\ ...}
[/mm]
Ich habe mir folgendes überlegt:
1.) ist falsch, da man nicht mit der 0 multiplizieren darf und die 1 neutrales
Element der Multiplikation in diesem Körper ist, man also mit Typ I
garkeine Umformungen erreichen kann.
2.) ist richtig, da 1+1=0 gilt, dadurch kann man durch mehrmaliges
Addieren der Zeilen, Zeilenstufenform erreichen.
Ist das so richtig? Auch wenn das bei 2.) weniger eine Erklärung ist, als das was ich als logisch erachte und ausprobiert habe ;)
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob das stimmt :)
Danke!
MFG
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:30 Mi 27.01.2010 | | Autor: | MichaelKelso |
Hallo!
Sind meine Überlegungen richtig?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
MFG
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Hallo,
> Sei K der Körper mit zwei Elementen und A eine (n [mm]\times[/mm]
> m)-Matrix mit Koeffizienten aus K. richtig oder falsch?
>
> 1.) A lässt sich ausschließlich durch elementare
> Zeilenumformungen von
> vom Typ I auf eine Matrix B in Zeilenstufenform mit allen
> Koeffizienten
> aus K bringen
> 2.) A lässt sich ausschließlich durch elementare
> Zeilenumformungen von
> vom Typ II auf eine Matrix B in Zeilenstufenform mit allen
> Koeffizienten
> aus K bringen
>
>
> Hallo!
>
> Also, Typ I und Typ II sind bei uns wie folgt definiert:
> Es sei [mm]\alpha \in[/mm] K* (K* = K\ {0})
> Typ I: [mm]\vektor{ ... \\ a_{i} \\ ... } \mapsto \vektor{ ... \\ \alpha * a_{i} \\ ... }[/mm]
> Typ II: [mm]\vektor{ ... \\ a_{i} \\ ... \\ a_{j} \\ ...} \mapsto \vektor{ ... \\ a_{i}+a_{j} \\ ... \\ a_{j} \\ ...}[/mm]
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
> 1.) ist falsch, da man nicht mit der 0 multiplizieren darf
> und die 1 neutrales
> Element der Multiplikation in diesem Körper ist, man
> also mit Typ I
> garkeine Umformungen erreichen kann.
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> 2.) ist richtig, da 1+1=0 gilt, dadurch kann man durch
> mehrmaliges
> Addieren der Zeilen, Zeilenstufenform erreichen.
>
> Ist das so richtig? Auch wenn das bei 2.) weniger eine
> Erklärung ist, als das was ich als logisch erachte und
> ausprobiert habe ;)
 Ja, es ist okay so.
Du solltest dir merken, bzw. verdeutlichen, dass der Typ:
$(ZeileNr-i) + [mm] \lambda*(ZeileNr-j) [/mm] --> ZeileNr-i$
[mm] (\lambda\in [/mm] K),
(Vielleicht ist es bei euch Typ III oder Typ IV) ausreicht, um die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen.
Bei dir im Körper mit 2 Elementen entspricht dieser Typ aber gerade dem Typ II.
Grüße,
Stefan
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Okay, alles klar!
Danke!
MFG
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