Zeitfunktion kompl. darstellen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
| Aufgabe | Diese Zeitfunktion will ich in der komplexen Form darstellen.
[mm] u_0(t)=\wurzel{2}*U_0*sin(\omega*t+45 [/mm] °) |
Habe es so versucht
[mm] Im{\underline{U_0}}=\bruch{1}{2}\hat{u}*[cos(\omega*t+\bruch{\pi}{4})+jsin(\omega*t+\bruch{\pi}{4})-cos(\omega*t+\bruch{\pi}{4})+jsin(\omega*t+\bruch{\pi}{4})]
[/mm]
[mm] \underline{U_0}=\bruch{1}{2}\hat{u}*[e^{j\bruch{\pi}{4}}*e^{j\omega*t}-e^{-j\bruch{\pi}{4}}*e^{j\omega*t}]
[/mm]
hiervon der Imaginärteil [mm] \underline{U_0}=Img( \bruch{1}{2}\hat{u}*e^{j(\omega*t+\bruch{\pi}{4})} [/mm] ist doch dann die Zeitfunktion oder nicht?
Im Skript wird aus der Zeitfunktion aus der Aufgabenstellung einfach
[mm] \underline{U_0}=U_0*e^{j\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
Das kann ich nicht nachvollziehen, mit meinen Umformungen komme ich da nicht hin..
Weiß jemand warum?
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Hallo!
Schau mal hier.
Viele Grüße, Marcel
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Hi,
ich habe mir das mehrmals durchgelsen und kanns immer noch nicht nachvollziehen...
Plötzlich wird aus einem [mm] \phi [/mm] ein [mm] \pi/2 [/mm] und das [mm] \omega*t [/mm] verschwindet auf einmal.
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Hallo!
Du hast
(1) [mm] u(t)=Re\vektor{\hat{U}_{0}*sin(\omega{t}+\varphi)}.
[/mm]
Gleichung (1) lässt sich mit dem Faktor [mm] \bruch{j}{j}=1 [/mm] neutral zu
(2) [mm] u(t)=Re\vektor{\hat{U}_{0}*\bruch{j}{j}*sin(\omega{t}+\varphi)}
[/mm]
erweitern. Außerdem gilt doch im Rahmen der eulerschen Darstellung einer komplexen Zahl die Beziehung
(3) [mm] e^{j\varphi}=cos(\varphi)+jsin(\varphi).
[/mm]
Da der Summand [mm] cos(\varphi) [/mm] in deinem Ausdruck gemäß
(4) [mm] u(t)=Re\vektor{\hat{U}_{0}*(0*cos(\omega{t}+\varphi)+sin(\omega{t}+\varphi))}
[/mm]
keinen Einfluss ausübt, erhält man durch Substitution unmittelbar
(5) [mm] u(t)=Re\vektor{\hat{U}_{0}*\bruch{1}{j}*e^{j(\omega{t}+\varphi)} }=Re\vektor{\hat{U}_{0}*(-j)*e^{j(\omega{t}+\varphi)}}.
[/mm]
Mit den Beziehungen [mm] -j=e^{j\bruch{3}{2}\pi}=e^{-j\bruch{\pi}{2}} [/mm] und [mm] \varphi=45^{\circ}=\bruch{\pi}{4} [/mm] ergibt sich dann
(6) [mm] u(t)=Re\vektor{\hat{U}_{0}*e^{j\bruch{3}{2}\pi}*e^{j(\omega{t}+\bruch{\pi}{4})}}
[/mm]
Du musst jetzt nur noch die komplexen e-Funktionen miteinander verrechnen und anschließend den Realteil des Ausdrucks aus Gleichung (6) bilden.
Viele Grüße, Marcel
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Hi Marcel vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Habe da aber noch paar Fragen.
Mir ist nicht ganz klar wieso du bei der Gleichung (1) als Realteil davor schreibst, weil da kein Imaginärteil auftaucht?
Bis Gl. (6) konnte ich es nachvollziehen.
Wenn ich die komplex. e-Funktionen miteinander verrechne erhalte ich ja
[mm] u(t)=Re(\hat{U_0}[e^{j(\omega{t}+\bruch{7\pi}{4})}])
[/mm]
Um den Realteil zu erhalten muss ich die e-Funktion wieder m.H. der Eulerschen Formel auflösen.
[mm] u(t)=Re(\hat{U_0}(cos(\omega{t}+\bruch{7\pi}{4})+jsin(\omega{t}+\bruch{7\pi}{4}))
[/mm]
Mich interessiert nur der ruhende Zeiger und [mm] \omega{t} [/mm] kann vernachlässigt werden?
[mm] u(t)=Re(\hat{U_0}(cos(\bruch{7\pi}{4})+jsin(\bruch{7\pi}{4}))
[/mm]
[mm] u(t)=Re(\hat{U_0}(\bruch{1}{\wurzel{2}}+j\bruch{1}{\wurzel{2}})
[/mm]
[mm] u(t)=Re(\bruch{\hat{U_0}}{\wurzel{2}}(1+j))
[/mm]
wenn ich hiervon nur den Realteil bestimme is das nur
[mm] \bruch{\hat{U_0}}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] U_0
[/mm]
wenn ich den Realteil nicht bestimme und das weiter umforme, erhalte ich exakt die Lsg wie im Skript, nur ist das nicht der Realteil, wie von dir gefordert.
[mm] u(t)=Re(U_0*e^{j\bruch{\pi}{4}})
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
den Ausdruck [mm] \omega t [/mm] solltest du mitnehmen, denn er kennzeichnet die Kreisfrequnz des sich drehenden Zeigers. Drehst Du Dich mit ihm mit, so ruht er natürlich für Dich. Das ist eine Frage der Fragestellung.
Viele Grüße,
Infinit
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Hi, die zusätzliche Winkelangabe ist dazu da, um zu kennzeichnen, dass sich beispielsweise der Spannungszeiger um einen Winkel [mm] \phi [/mm] zum Stromzeiger voreilt bzw. nacheilt.
Die Kreisfrequenz kennzeichnet den drehenden Zeiger. Zu jedem beliebigen Zeitpunkt ist ein anderer Augenblickswert zu messen. Interessant sind nur die komplex. Effektivwerte oder nicht?
Mich verwirrt immer noch wieso Marcel in Gl. (1) ein Re(..) davor stehen hat.
Wenn die Gleichung so lauten würde,
[mm] u(t)=U_0*cos(\omega{t}+\phi)
[/mm]
[mm] u(t)=Re(U_0*e^{j(\omega{t}+\phi)}) [/mm] = [mm] U_0*cos(\omega{t}+\phi)
[/mm]
verstehe ich schon warum das Re(..) davor geschrieben wird da der Kosinus der Realteil der komplexen e-Funktion ist, aber warum das vor der Gl. (1) versteh ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Di 27.11.2012 | | Autor: | GvC |
> Hi, die zusätzliche Winkelangabe ist dazu da, um zu
> kennzeichnen, dass sich beispielsweise der Spannungszeiger
> um einen Winkel [mm]\phi[/mm] zum Stromzeiger voreilt bzw.
> nacheilt.
>
> Die Kreisfrequenz kennzeichnet den drehenden Zeiger. Zu
> jedem beliebigen Zeitpunkt ist ein anderer Augenblickswert
> zu messen. Interessant sind nur die komplex. Effektivwerte
> oder nicht?
>
> Mich verwirrt immer noch wieso Marcel in Gl. (1) ein Re(..)
> davor stehen hat.
>
> Wenn die Gleichung so lauten würde,
>
> [mm]u(t)=U_0*cos(\omega{t}+\phi)[/mm]
>
> [mm]u(t)=Re(U_0*e^{j(\omega{t}+\phi)})[/mm] =
> [mm]U_0*cos(\omega{t}+\phi)[/mm]
>
> verstehe ich schon warum das Re(..) davor geschrieben wird
> da der Kosinus der Realteil der komplexen e-Funktion ist,
> aber warum das vor der Gl. (1) versteh ich nicht.
>
>
Marcel08 und die Musterlösung gehen von unterschiedlichen Definitionen für die Transformation vom Zeitbereich in die komplexe Ebene und umgekehrt aus. Die physikalisch tatsächlich vorhandene sinusförmige Größe lässt sich natürlich sowohl als Projektion eines rotierenden Zeigers auf die reelle als auch auf die imaginäre Achse darstellen. Außerdem stellt Marcel die sinusförmige Größe als Scheitelwertzeiger dar, die Musterlösung aber als Effektivwertzeiger. Darüber hinaus lässt sich der Zeiger als rotierender oder auch als ruhender Zeiger darstellen. Letztere Darstellngsart ist nur deshalb sinnvoll, weil es im allgemeinen nur auf die Phasendifferenz unterschiedlicher Größen in einem Netzwerk ankommt, die in ruhender Zeigerdarstellung genauso enthalten ist, wie in rotierender Zeigerdarstellung.
Die Musterlösung legt offenbar folgende Definition zugrunde:
[mm]u(t)=\sqrt{2}\cdot Im(\underline{U})[/mm]
Also soll der Spannungszeiger als Effektivwertzeiger dargestellt werden. Außerdem sagt die Musterlösung, dass hier die Darstellung als ruhender Zeiger bevorzugt wird. Solche Vereinbarungen sind im Unterricht / in der Vorlesung so festgelegt worden. Deshalb sollte man sich auch daran halten. Man kann es natürlich auch so machen wie Marcel08, sollte sich aber in jedem Fall über die zugrundeliegenden Transformationsregeln im Klaren sein. Ein guter Prof. würde seine Studenten auf die unterschiedlichen Darstellungsweisen in den Büchern unterschiedlicher Autoren hinweisen.
Wenn der Imaginärteil [mm]Im(\underline{U}_0})=\frac{u_0(t)}{\sqrt{2}}=U_0\cdot\sin{(\omega t+45^{\circ})}[/mm] ist, dann ist der Realteil
[mm]Re(\underline{U}_0)=U_0\cdot\cos{(\omega t+45^{\circ})}[/mm]
Der komplexe Effektivwertzeiger (rotierend) ist also
[mm]\underline{U}_0=U_0\cdot (\cos{(\omega t+45^{\circ})}+j\sin{(\omega t+45^{\circ})}})[/mm]
Dieser Ausdruck lässt sich unter Anwendung der Eulerschen Gleichung auch schreiben als
[mm]\underline{U}_0=U_0\cdot e^{j(\omega t+45^{\circ})}[/mm]
oder als ruhender Zeiger
[mm]\underline{U}_0=U_o\cdot e^{j45^{\circ}}=U_o\cdot e^{j\frac{\pi}{4}}[/mm]
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