Zentrische Streckung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | Z1 und Z2 seien zwei verschiedene Punkte der Ebene, k1 und k2 seien zwei von 0 verschiedene reelle Zahlen.
Beweisen Sie:
Es gibt einen Punkt P, der bei den zentrischen Streckungen ZS(Z1, k1) und ZS(Z2, k2) denselben Bildpunkt P hat. |
Also ich weiß nicht so recht wie das gehen soll:
Was mir bisher klar ist:
- Da [mm] \overrightarrow{Z1P'} = k1 \* \overrightarrow{Z1P}[/mm] und somit Z1,P,P kollinear und
- [mm] \overrightarrow{Z2P'} = k2 \* \overrightarrow{Z2P}[/mm] und somit auch Z2,P,P kollinear sind, müssen
- Z1, Z2, P und P sich auf ein und derselben Geraden befinden. Zentrische Streckungen haben unendlich viele Fixgeraden, alle durch Z sind Fixgeraden. Eine davon ist hier [mm] \overrightarrow{Z1Z2}.
[/mm]
Weiter weiß ich:
ZS(Z1, k1)(P) = P1 und
ZS(Z2, k2)(P) = P2.
Ich muss doch jetzt wohl zeigen, dass P1=P2 ist, oder?
Irgendwie komm ich nicht weiter. Über Tipps oder Ratschläge würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank.
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> Z1 und Z2 seien zwei verschiedene Punkte der Ebene, k1 und
> k2 seien zwei von 0 verschiedene reelle Zahlen.
> Beweisen Sie:
> Es gibt einen Punkt P, der bei den zentrischen Streckungen
> ZS(Z1, k1) und ZS(Z2, k2) denselben Bildpunkt P hat.
> Also ich weiß nicht so recht wie das gehen soll:
>
> Was mir bisher klar ist:
> - Da [mm]\overrightarrow{Z1P'} = k1 \* \overrightarrow{Z1P}[/mm]
> und somit Z1,P,P kollinear und
> - [mm] \overrightarrow{Z2P'} = k2 \* \overrightarrow{Z2P}[/mm] und
> somit auch Z2,P,P kollinear sind, müssen
> - Z1, Z2, P und P sich auf ein und derselben Geraden
> befinden. Zentrische Streckungen haben unendlich viele
> Fixgeraden, alle durch Z sind Fixgeraden. Eine davon ist
> hier [mm]\overrightarrow{Z1Z2}.[/mm]
>
> Weiter weiß ich:
>
> ZS(Z1, k1)(P) = P1 und
> ZS(Z2, k2)(P) = P2.
>
> Ich muss doch jetzt wohl zeigen, dass P1=P2 ist, oder?
Ja genau. Aber Dein Problem ist, dass Du $P$ ja nicht kennst. Also im allgemeinen wird [mm] $P_1=P_2$ [/mm] natürlich nicht gelten.
Ich denke es wäre einfacher, direkt zu zeigen dass es ein $P$ gibt, das die Bedingung [mm] $\mathrm{ZS}(Z_1,k_1)(P)=\mathrm{ZS}(Z_2,k_2)(P)$ [/mm] erfüllt (und auf die Einführung dieser zusätzlichen Komplikation von [mm] $P_{1,2}$ [/mm] zu verzichten).
> Irgendwie komm ich nicht weiter.
Ich würde an Deiner Stelle die beiden Seiten dieser Bedingung, [mm] $\mathrm{ZS}(Z_1,k_1)(P)=\mathrm{ZS}(Z_2,k_2)(P)$, [/mm] einfach mal vektoriell ausformulieren und schauen, ob Du daraus nicht relativ direkt den gesuchten Punkt $P$ bestimmen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Also ich habe oder ich muss zeigen, dass das gilt:
ZS(Z1, k1)(P) = ZS(Z2, k2)(P)
Ich versuche die linke Seite aufzulösen indem ich beide Seiten von links mit ZS(Z1, 1/k1) verknüpfe:
--> ZS(Z1, k1)(P) = ZS(Z2, k2)(P) │ ZS(Z1, 1/k1) o
--> ZS(Z1, 1/k1) o [ZS(Z1, k1)(P)] = ZS(Z1, 1/k1) o [ZS(Z2, k2)(P)]
dann steht jetzt da:
--> ZS(Z1, 1/k1) (P') = ZS(Z1, 1/k1) (P')
--> P = P q.e.d.?!
Stimmt das? Darf ich das so? Vektoriell ist das aber nicht.
Vektoriell wäre das mein Ansatz:
--> ZS(Z1, k1)(P) = ZS(Z2, k2)(P)
--> K1 * [mm] \overrightarrow{Z1P} [/mm] = k2 * [mm] \overrightarrow{Z2P} [/mm] |1/k1 o
--> 1/k1 [mm] \overrightarrow{(K1 * \overrightarrow{Z1P)}} [/mm] = 1/k1 [mm] \overrightarrow{k2 * \overrightarrow{Z2P}}
[/mm]
--> [mm] \overrightarrow{Z1P} [/mm] = 1/k1 * [mm] \overrightarrow{Z2P'}
[/mm]
Hm. Weiter gehts nicht.
Vielen Dank für die schnelle Antwort, somebody.
Grüße
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> Also ich habe oder ich muss zeigen, dass das gilt:
>
> ZS(Z1, k1)(P) = ZS(Z2, k2)(P)
>
> Ich versuche die linke Seite aufzulösen indem ich beide
> Seiten von links mit ZS(Z1, 1/k1) verknüpfe:
>
> --> ZS(Z1, k1)(P) = ZS(Z2, k2)(P)
> │ ZS(Z1, 1/k1) o
>
> --> ZS(Z1, 1/k1) o [ZS(Z1, k1)(P)] = ZS(Z1, 1/k1) o
> [ZS(Z2, k2)(P)]
>
> dann steht jetzt da:
>
> --> ZS(Z1, 1/k1) (P') = ZS(Z1, 1/k1) (P')
>
> --> P = P q.e.d.?!
Na, dass $P=P$ gilt, würde ich Dir auch ohne jedes formale Hantieren, aka. Beweis, glauben. Nur, dieses Ergebnis nützt Dir nichts: Du hast eine Tautologie gefolgert. Dies beweist leider gar nichts über das Wahr oder Falsch (bw. bei geeigneter Wahl von $P$ erfüllt) sein der zu beweisenden Behauptung: Wenn $B$ wahr ist, dann ist die Implikation [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ immer wahr, unabhängig vom Wahrheitswert von $A$.
Was Du brauchst ist der Beweis, dass es ein $P$ mit der gewünschten Eigenschaft gibt.
>
> Vektoriell wäre das mein Ansatz:
>
> --> ZS(Z1, k1)(P) = ZS(Z2, k2)(P)
>
> --> K1 * [mm]\overrightarrow{Z1P}[/mm] = k2 * [mm]\overrightarrow{Z2P}[/mm]
> |1/k1 o
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du willst nicht zeigen, dass die Differenzen der Vektoren des Bildes $P'$ von $P$ und [mm] $Z_1$ [/mm] bzw. [mm] $Z_2$ [/mm] gleich sind (d.h. dass [mm] $\vec{Z_1P'}=\vec{Z_2P'}$ [/mm] gilt): dies wird ohnehin kaum gelten, ausser die beiden Streckungen wären sogar identisch.
Was Du zeigen sollst ist, dass der Ortsvektor [mm] $\vec{OP'}$ [/mm] des Bildes $P'$ von $P$ unter den beiden Streckungen derselbe ist. Diese Bedingung müsstest Du, meiner Meinung nach, vektoriell so schreiben
[mm]\vec{OZ}_1+k_1\vec{Z_1P} = \vec{OZ}_2+k_2\vec{Z_2P}[/mm]
Nachtrag (1. Revision): Ich hätte vielleicht ausdrücklich schreiben sollen, dass Du dies als Bestimmungsgleichung für $P$ auffassen, also nach [mm] $\vec{OP}$ [/mm] auflösen kannst. Allerdings wirst Du eine Fallunterscheidung machen müssen, denn im Falle [mm] $k_1=k_2$ [/mm] kann man diese Gleichung nicht nach [mm] $\vec{OP}$ [/mm] auflösen: ihr Gelten (oder Nichtgelten) ist in diesem speziellen Falle [mm] $k_1=k_2$ [/mm] von $P$ gar nicht abhängig [mm] ($\vec{OP}$ [/mm] fällt aus der Gleichung heraus.
Du wirst in diesem verbleibenden Falle [mm] $k_1=k_2$ [/mm] dann weitere Unterfälle unterscheiden müssen. Etwa [mm] $Z_1=Z_2$ [/mm] (dann kannst Du ein triviales $P$) angeben, oder [mm] $Z_1\neq Z_2$, [/mm] aber ich habe den Verdacht, dass es für [mm] $Z_1\neq Z_2$ [/mm] und die zusätzliche Bedingung [mm] $k_1=k_2\neq [/mm] 1$ kein $P$ mit der gewünschten Eigenschaft gibt. Dies würde bedeuten, dass die zu beweisende Behauptung in diesem Spezialfall gar nicht wahr ist. - Na, vielleicht habe ich mich verrechnet...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mi 13.08.2008 | | Autor: | weduwe |
eine möglichkeit wäre, dies mit hilfe der analytischen geometrie zu zeigen. dazu legst du [mm] Z_1 [/mm] in den ursprung und [mm] Z_2 [/mm] auf die x-achse mit [mm] Z_2(z/0) [/mm] und bestimmst dann die koordinaten des punktes P.
das ergibt
[mm] P(\frac{z(1-k_2)}{k_1-k_2}/0).
[/mm]
und jetzt zeigst du (für den beliebigen fall, so gewünscht), dass mit
[mm] \overrightarrow{Z_1P}=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}\cdot\overrightarrow{Z_1Z_2} [/mm] sowie [mm] \overrightarrow{Z_1P^\prime}=k_1\overrightarrow{
Z_1P} [/mm] und [mm] \overrightarrow{Z_2P^\prime}=k_2\overrightarrow{
Z_2P} [/mm]
gilt
[mm] \overrightarrow{Z_1P^\prime }+\overrightarrow{
P^\prime Z_2}=\overrightarrow{
Z_1Z_2}
[/mm]
was nicht allzu schwer ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:55 Do 14.08.2008 | | Autor: | weduwe |
da du bereits gezeigt hast, dass die 4 punkte auf einer geraden liegen, geht´s vektoriell mit dem ansatz von oben ganz gut:
(1) [mm] \overrightarrow{Z_1P^\prime}+\overrightarrow{P^\prime Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
mit [mm] \overrightarrow{Z_1P}=\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2} [/mm] hat man
[mm] \overrightarrow{Z_1P^\prime}=k_1\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
und
[mm] \overrightarrow{PZ_2}=(1-\lambda)\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{Z_2P^\prime}=k_2\overrightarrow{Z_2P}\to\overrightarrow{P^\prime Z_2}=k_2\overrightarrow{PZ_2}
[/mm]
alles in (1) eingesetzt ergibt:
[mm] (k_1\lambda+k_2(1-\lambda))\overrightarrow{Z_1Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}\to \lambda=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo weduwe,
ich kann dem nur bedingt folgen was du da sagst: ich frage mich wie du auf die koordinaten des Punktes P kommst? Das hab ich nicht kapiert.
Wenn ich das versteh dann will ich das nochmal durcharbeiten und sehen ob ich das so lösen kann was du gemacht hast obwohl ich da auch nicht ganz durchsteige. Vielleicht kannst Du mir nochmals behilflich sein.
Herzlichen Dank, danke auch Dir somebody!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Sa 16.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwe,
>
> ich kann dem nur bedingt folgen was du da sagst: ich frage
> mich wie du auf die koordinaten des Punktes P kommst? Das
> hab ich nicht kapiert.
>
> Wenn ich das versteh dann will ich das nochmal
> durcharbeiten und sehen ob ich das so lösen kann was du
> gemacht hast obwohl ich da auch nicht ganz durchsteige.
> Vielleicht kannst Du mir nochmals behilflich sein.
>
> Herzlichen Dank, danke auch Dir somebody!
da ist nun aber mir nicht ganz klar, was da unklar ist, also noch einmal:
zunächst ein bilderl, das vielleicht zur klärung beiträgt
[Dateianhang nicht öffentlich]
fall 1: P und P´liegen zwischen [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_2
[/mm]
fall 2: P und P´ liegen außerhalb von [mm] \overline{Z_1Z_2} [/mm] ,
und zwar auf "derselben" seite.
das liefert dieselben koordinaten für den punkt P wie fall 1
fall 3ff: P innerhalb und P´außerhalb...
nicht erlaubt, da hier die vorzeichen der streckungsfaktoren nicht gleich sind.
daher bleiben wir bei fall 1:
da du bereits gezeigt hast, dass die 4 punkte auf einer geraden liegen, geht´s vektoriell mit dem ansatz (1) ganz gut:
(1) [mm] \overrightarrow{Z_1P^\prime}+\overrightarrow{P^\prime Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
mit [mm] \overrightarrow{Z_1P}=\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2} [/mm] hat man
[mm] \overrightarrow{Z_1P^\prime}=k_1\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
und
[mm] \overrightarrow{PZ_2}=(1-\lambda)\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{Z_2P^\prime}=k_2\overrightarrow{Z_2P}\to\overrightarrow{P^\prime Z_2}=k_2\overrightarrow{PZ_2}=(1-\lambda)k_2\overrightarrow{PZ_2}
[/mm]
alles in (1) eingesetzt ergibt:
(2) [mm] (k_1\lambda+k_2(1-\lambda))\overrightarrow{Z_1Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
aus (2) folgt, dass der linke klammerausdruck = 1 sein muß, und daher
[mm] \lambda=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}
[/mm]
und damit gilt für P:
[mm] \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OZ_1}+\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}
[/mm]
analog bekommst du
[mm] \mu=\frac{1-k_1}{k_1-k_2}
[/mm]
und daraus wieder [mm] \lambda=1+\mu=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}
[/mm]
woraus man folgern kann, dass es tatsächlich genau 1 punkt P gibt.
jetzt besser?
sonst mußt du bitte präzisieren, was unklar ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> > Hallo weduwe,
> >
> > ich kann dem nur bedingt folgen was du da sagst: ich frage
> > mich wie du auf die koordinaten des Punktes P kommst? Das
> > hab ich nicht kapiert.
> >
> > Wenn ich das versteh dann will ich das nochmal
> > durcharbeiten und sehen ob ich das so lösen kann was du
> > gemacht hast obwohl ich da auch nicht ganz durchsteige.
> > Vielleicht kannst Du mir nochmals behilflich sein.
> >
> > Herzlichen Dank, danke auch Dir somebody!
>
> da ist nun aber mir nicht ganz klar, was da unklar ist,
> also noch einmal:
>
> zunächst ein bilderl, das vielleicht zur klärung beiträgt
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> fall 1: P und P´liegen zwischen [mm]Z_1[/mm] und [mm]Z_2[/mm]
> fall 2: P und P´ liegen außerhalb von [mm]\overline{Z_1Z_2}[/mm] ,
> und zwar auf "derselben" seite.
> das liefert dieselben koordinaten für den punkt P wie fall
> 1
>
> fall 3ff: P innerhalb und P´außerhalb...
> nicht erlaubt, da hier die vorzeichen der
> streckungsfaktoren nicht gleich sind.
>
> daher bleiben wir bei fall 1:
>
>
> da du bereits gezeigt hast, dass die 4 punkte auf einer
> geraden liegen, geht´s vektoriell mit dem ansatz (1) ganz
> gut:
>
> (1) [mm]\overrightarrow{Z_1P^\prime}+\overrightarrow{P^\prime Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
>
> mit [mm]\overrightarrow{Z_1P}=\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
> hat man
>
> [mm]\overrightarrow{Z_1P^\prime}=k_1\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\overrightarrow{PZ_2}=(1-\lambda)\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{Z_2P^\prime}=k_2\overrightarrow{Z_2P}\to\overrightarrow{P^\prime Z_2}=k_2\overrightarrow{PZ_2}=(1-\lambda)k_2\overrightarrow{PZ_2}[/mm]
>
> alles in (1) eingesetzt ergibt:
>
> (2)
> [mm](k_1\lambda+k_2(1-\lambda))\overrightarrow{Z_1Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
>
> aus (2) folgt, dass der linke klammerausdruck = 1 sein
> muß, und daher
>
> [mm]\lambda=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}[/mm]
> und damit gilt für P:
>
> [mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OZ_1}+\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
>
>
> analog bekommst du
>
> [mm]\mu=\frac{1-k_1}{k_1-k_2}[/mm]
>
> und daraus wieder [mm]\lambda=1+\mu=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}[/mm]
>
> woraus man folgern kann,
Woher weisst Du, dass [mm] $k_1-k_2\neq [/mm] 0$ ist?
> dass es tatsächlich genau 1 punkt
> P gibt.
>
> jetzt besser?
> sonst mußt du bitte präzisieren, was unklar ist.
Ich habe etwas Mühe zu verstehen, was denn an der simplen Auflösung der Vektorgleichung
[mm] \vec{OZ}_1+k_1\vec{Z_1P} = \vec{OZ}_2+k_2\vec{Z_2P}[/mm]
bzw. anders formuliert
[mm]\vec{OZ}_1+k_1(\vec{OP}-\vec{OZ}_1) = \vec{OZ}_2+k_2(\vec{OP}-\vec{OZ}_2)[/mm]
nach [mm] $\vec{OP}$ [/mm] so kompliziert sein sollte, dass man lange argumentierend und skizzierend herumturnen muss. Im Falle [mm] $Z_1\neq Z_2$ [/mm] und [mm] $k_1=k_2,\neq [/mm] 1$ gibt es meiner Meinung nach keinen solchen Punkt $P$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Sa 16.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> > > Hallo weduwe,
> > >
> > > ich kann dem nur bedingt folgen was du da sagst: ich frage
> > > mich wie du auf die koordinaten des Punktes P kommst? Das
> > > hab ich nicht kapiert.
> > >
> > > Wenn ich das versteh dann will ich das nochmal
> > > durcharbeiten und sehen ob ich das so lösen kann was du
> > > gemacht hast obwohl ich da auch nicht ganz durchsteige.
> > > Vielleicht kannst Du mir nochmals behilflich sein.
> > >
> > > Herzlichen Dank, danke auch Dir somebody!
> >
> > da ist nun aber mir nicht ganz klar, was da unklar ist,
> > also noch einmal:
> >
> > zunächst ein bilderl, das vielleicht zur klärung beiträgt
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > fall 1: P und P´liegen zwischen [mm]Z_1[/mm] und [mm]Z_2[/mm]
> > fall 2: P und P´ liegen außerhalb von [mm]\overline{Z_1Z_2}[/mm]
> ,
> > und zwar auf "derselben" seite.
> > das liefert dieselben koordinaten für den punkt P wie
> fall
> > 1
> >
> > fall 3ff: P innerhalb und P´außerhalb...
> > nicht erlaubt, da hier die vorzeichen der
> > streckungsfaktoren nicht gleich sind.
> >
> > daher bleiben wir bei fall 1:
> >
> >
> > da du bereits gezeigt hast, dass die 4 punkte auf einer
> > geraden liegen, geht´s vektoriell mit dem ansatz (1) ganz
> > gut:
> >
> > (1) [mm]\overrightarrow{Z_1P^\prime}+\overrightarrow{P^\prime Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]\overrightarrow{Z_1P}=\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
> > hat man
> >
> >
> [mm]\overrightarrow{Z_1P^\prime}=k_1\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\overrightarrow{PZ_2}=(1-\lambda)\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
> >
> >
> [mm]\overrightarrow{Z_2P^\prime}=k_2\overrightarrow{Z_2P}\to\overrightarrow{P^\prime Z_2}=k_2\overrightarrow{PZ_2}=(1-\lambda)k_2\overrightarrow{PZ_2}[/mm]
>
> >
> > alles in (1) eingesetzt ergibt:
> >
> > (2)
> >
> [mm](k_1\lambda+k_2(1-\lambda))\overrightarrow{Z_1Z_2}=\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
> >
> > aus (2) folgt, dass der linke klammerausdruck = 1 sein
> > muß, und daher
> >
> > [mm]\lambda=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}[/mm]
> > und damit gilt für P:
> >
> >
> [mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OZ_1}+\lambda\overrightarrow{Z_1Z_2}[/mm]
> >
> >
> > analog bekommst du
> >
> > [mm]\mu=\frac{1-k_1}{k_1-k_2}[/mm]
> >
> > und daraus wieder [mm]\lambda=1+\mu=\frac{1-k_2}{k_1-k_2}[/mm]
> >
> > woraus man folgern kann,
>
> Woher weisst Du, dass [mm]k_1-k_2\neq 0[/mm] ist?
>
> > dass es tatsächlich genau 1 punkt
> > P gibt.
> >
> > jetzt besser?
> > sonst mußt du bitte präzisieren, was unklar ist.
>
> Ich habe etwas Mühe zu verstehen, was denn an der simplen
> Auflösung der Vektorgleichung
>
> [mm]\vec{OZ}_1+k_1\vec{Z_1P} = \vec{OZ}_2+k_2\vec{Z_2P}[/mm]
> bzw.
> anders formuliert
>
> [mm]\vec{OZ}_1+k_1(\vec{OP}-\vec{OZ}_1) = \vec{OZ}_2+k_2(\vec{OP}-\vec{OZ}_2)[/mm]
>
> nach [mm]\vec{OP}[/mm] so kompliziert sein sollte, dass man lange
> argumentierend und skizzierend herumturnen muss. Im Falle
> [mm]Z_1\neq Z_2[/mm] und [mm]k_1=k_2,\neq 1[/mm] gibt es meiner Meinung nach
> keinen solchen Punkt [mm]P[/mm].
na dann bitteschön - wo du recht hast, hast du recht - für [mm] k_1\neq k_2 [/mm]
und lieber "argumentierend und skizzierend herumturnen" und dafür ein korrektes ergebnis, meiner meinung nach.
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