Zentrum und Isomorphie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Sonne16 |
Hallo Leute!
Ich habe da 2 Aufgaben bei denen ich eure Hilfe brauche. Wäre wirklich dankbar.
Zum einen
1. Sei K ein Körper und n e N. Berechne das Zentrum der Gruppe GL(n,K).
Also, das zentrum ist ja definiert mit Z= (x E G; xs=sx für alle s E G).
Dachte mir dass es was mit den Skalarmatrizen zu tun haben kann; aber wenn fehlt mir hier der Beweis zu?!
Und zum anderen
2.Seien n,m e Z. Zeige:
Z/n mal Z/m isomorph Z/nm genau dann wenn (n,m)=1.
Dabei bezeichnet (n,m) den größten gemeinsamen Teiler von n umd m.
Ich habe hier mal versucht, die irgendetwas umzuformen, aber kam damit kein Stück weiter.Könnte man wohl irgendwie argumentativ lösen...
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Grüße
Mone
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Sonne16 |
Also, der Beweis, wie ich zeigen kann, dass es nur die Strukturmatrien sind, ist mir jetzt klar. aber leider nicht, wie ich zeigen kann, dass es nur diese sind.
Grüße und danke vielmals fürs Helfen
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Hallo monebahr,
Bei deiner ersten Frage liegst du mit deiner Intuition schon richtig. Versuche deine Kandidaten für das Zentrum, die du im Auge hast, mal mit ihren Eigenschaften zu beschreiben.
Um zu zeigen, dass deine Menge der Kandidaten das ganze Zentrum ist, zeigst du zwei Dinge:
1. Alle deine Kandidaten liegen im Zentrum.
2. Ein Element des Zentrums ist eines deiner Kandidaten.
Der erste Punkt ist leicht zu zeigen, wenn du die richtigen Kandidaten hast (aber so wie ich dich verstehe, hast du die). Für den zweiten Punkt benutzt du die Eigenschaft für Elemente des Zentrums, dass sie für alle x die Gleichung sx = xs erfüllen. Also erfüllen sie es auch für spezielle solche x. Wähle Elementarmatrizen für x (Einheitsmatrix und daneben irgendwo noch eine 1, sonst Nullen und Matrizen mit einer 1 nicht auf der Diagonalen, sonst Nullen) und leite so Bedingungen her, die deine Elemente des Zentrums erfüllen müssen.
Zu deiner zweiten Aufgabe.
Zeigen, dass im Fall (n,m) = 1 die Abbildung
f: Z/mnZ --> Z/mZ x Z/nZ, (x mod mn) --> (x mod m, x mod n)
ein wohldefinierter injektiver Homomorphismus ist. Surjektiv ist die Abbildung dann automatisch.
Zur Injektivität:
Nimm dir ein Element x mit f(x) = (0,0), d.h. x ist durch m teilbar und x ist durch n teilbar. Jetzt kannst du mithilfe der Teilerfremdheit weiterarbeiten.
Sind n und m nicht teilerfremd, genügt es ein Gegenbeispiel anzugeben. Hast du dir da schon eines überlegt?
Liebe Grüsse,
Irrlicht
EDIT: Schmarrn gestrichen. *ggg*
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