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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 18.02.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | | Gegeben sei das Polynom [mm] x^4+1 \in \IQ[x]. [/mm] Bestimme den dazugehörigen Zerfällungskörper |
Hallo,
mein Ansatz:
das Polynom hat neben den Nullstellen [mm] \pm \wurzel[4]{1} [/mm] auch komplexe Nullstellen, die nicht in [mm] \IQ [/mm] enthalten sind.
Ich muss einen Körper bestimmen, der auch die komplexen Nullstellen enthält.
Leider weiß ich ab hier nun nicht merh weiter.
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen.
Gruß cloe
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Hallo,
denke dir mal die Gauß'sche Zahlenebene. Dann siehst du die vier Nullstellen. Diese sind [mm] \bruch{\pm 1\pm i}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Den Zerfällungskörper erhälst du durch Adjunktion aller Nullstellen. Der kleinste körper ist anscheinend [mm] \IQ(i,\wurzel{2}).
[/mm]
Ach so, es wäre auch noch zu zeigen, dass das Polynom irreduzibel ist. Das ist aber einfach. Setze x=x+1 und wende Eisenstein an!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 18.02.2006 | | Autor: | cloe |
Und wie würde es dann beim Polynom [mm] x^3+2\in\IQ [/mm] aussehen?
Das Polynom ist irreduzibel. (Zunächst substituieren mit x+1 und dann Eisenstein mit p=3)
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Hallo,
nö das geht einfacher. Wähle p=2 und verwende Eisenstein. Dann geht die Argumentation analog. Welche Nullstellen gibt es denn?
Auf jeden Fall [mm] \wurzel[3]{-2}. [/mm] Dann noch irgendwas mit i...!
Der Zerfällungskörper ist dann sicherlich [mm] \IQ({\wurzel[3]{-2},i}) [/mm] oder?
Viele Grüße
Daniel
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