Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Mi 02.12.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimme den Zerfällungskörper des folgendem Polynoms:
[mm] x^2 [/mm] + x + 1 [mm] \in \IZ/2\IZ[X] [/mm] über [mm] \IZ/2\IZ. [/mm] |
In unserem Skript steht ein Beispiel zu Zerfällungskörper mit genau diesem Polynom. Doch ich verstehe torzdem nicht ganz, wie ich die Aufgabe lösen könnte.
Der Zerfällungskörper ist [mm] \IZ/2\IZ[X]/(f) [/mm] mit f = [mm] x^2 [/mm] + x + 1.
c = x + (f) ist eine Wurzel von f. Dies sehe ich auch nicht ganz. Weshalb ist c eine Wurzel von f?
Wie komme ich nun aber auf den Zerfällungskörper [mm] \IZ/2\IZ[X]/(f) [/mm] ?
In [mm] \IZ/2\IZ[X]/(f) [/mm] gilt ja anscheinend, dass [mm] x^2 [/mm] + x + 1 = (x+ c)(x + 1 + c).
Deshalb ist ja dann [mm] \IZ/2\IZ[X]/(f) [/mm] der Zerfällungskörper.
Aber wie gehe ich bei dieser Aufgabe denn am besten vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Mi 02.12.2009 | | Autor: | statler |
Guuten Morgen!
> Bestimme den Zerfällungskörper des folgendem Polynoms:
>
> [mm]x^2[/mm] + x + 1 [mm]\in \IZ/2\IZ[X][/mm] über [mm]\IZ/2\IZ.[/mm]
> In unserem Skript steht ein Beispiel zu
> Zerfällungskörper mit genau diesem Polynom. Doch ich
> verstehe torzdem nicht ganz, wie ich die Aufgabe lösen
> könnte.
>
> Der Zerfällungskörper ist [mm]\IZ/2\IZ[X]/(f)[/mm] mit f = [mm]x^2[/mm] + x
> + 1.
Das ist richtig. Vielleicht ist es besser (genau genommen ist deine Schreibweise sogar falsch), f mit großem X zu schreiben: $f = [mm] X^2 [/mm] + X + 1$
> c = x + (f) ist eine Wurzel von f. Dies sehe ich auch nicht
> ganz. Weshalb ist c eine Wurzel von f?
Jetzt sei klein-x das Bild von groß-X im Restklassenring. Dadurch erspare ich mir das c. Dann ist f(x) - also der Wert von f an der Stelle x - wegen der Homomorphie der Restklassenabb. gleich dem Bild von f(X) im Restklassenring, und das ist natürlich Null. Also ist x eine Nullstelle.
> Wie komme ich nun aber auf den Zerfällungskörper
> [mm]\IZ/2\IZ[X]/(f)[/mm] ?
Das ist so, weil die andere Nullstelle x+1 ist. Das kannst du z. B. nachweisen, indem du es einfach in f einsetzt und die üblichen Rechenregeln benutzt.
> In [mm]\IZ/2\IZ[X]/(f)[/mm] gilt ja anscheinend, dass [mm]x^2[/mm] + x + 1 =
> (x+ c)(x + 1 + c).
> Deshalb ist ja dann [mm]\IZ/2\IZ[X]/(f)[/mm] der
> Zerfällungskörper.
>
> Aber wie gehe ich bei dieser Aufgabe denn am besten vor?
Ist dir klar, daß der Zerfällungskörper [mm] \IF_4 [/mm] ist? Oder hattet ihr das noch nicht? Ist dir auch klar, daß in diesem Gebilde '+' = '-' ist?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Sa 05.12.2009 | | Autor: | jokerose |
hallo,
danke für die Antwort. aber irgendwie ist bei mir trotzdem noch vieles nicht ganz klar.
Ich weiss nicht genau, wie ich bei dieser Aufgabe grundsätzlich vorgehen soll. Gibt es irgend eine Methode, wie man dies am besten macht?
Was muss ich zuerst machen? Nullstellen suchen? Diese liegen ja logischerweise nicht in [mm] \IZ/2\IZ[X]. [/mm] Also muss ich doch denn Körper so erweitern, dass die Nullstellen dann in dieser Körpererweiterung liegen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 So 06.12.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> danke für die Antwort. aber irgendwie ist bei mir trotzdem
> noch vieles nicht ganz klar.
> Ich weiss nicht genau, wie ich bei dieser Aufgabe
> grundsätzlich vorgehen soll. Gibt es irgend eine Methode,
> wie man dies am besten macht?
> Was muss ich zuerst machen? Nullstellen suchen? Diese
> liegen ja logischerweise nicht in [mm]\IZ/2\IZ[X].[/mm] Also muss
> ich doch denn Körper so erweitern, dass die Nullstellen
> dann in dieser Körpererweiterung liegen, oder?
f ist irreduzibel und hat keine Nullstelle in [mm] \IZ/2\IZ [/mm] =: [mm] \IF_2, [/mm] also ist [mm] \IF_2[X]/(f) [/mm] ein Körper, der ein isomorphes Bild von [mm] \IF_2 [/mm] enthält und in dem das Bild von X, das wir x genannt haben, eine Nullstelle von f ist.
Normalerweise müßtest du jetzt die nächste Nullstelle von f adjungieren, aber hier hast du Dusel: Die einzige andere Nullstelle ist x+1 und liegt schon in diesem Körper. Also ist das bereits der Zerfällungskörper!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 06.12.2009 | | Autor: | jokerose |
hallo,
ah ok, jetzt wirds langsam klar.
> f ist irreduzibel und hat keine Nullstelle in [mm]\IZ/2\IZ[/mm] =:
> [mm]\IF_2,[/mm] also ist [mm]\IF_2[X]/(f)[/mm] ein Körper, der ein
> isomorphes Bild von [mm]\IF_2[/mm] enthält und in dem das Bild von
> X, das wir x genannt haben, eine Nullstelle von f ist.
> Normalerweise müßtest du jetzt die nächste Nullstelle
> von f adjungieren, aber hier hast du Dusel: Die einzige
> andere Nullstelle ist x+1 und liegt schon in diesem
> Körper. Also ist das bereits der Zerfällungskörper!
Aber etwas verstehe ich noch nicht ganz:
Wie finde ich heraus, dass x+1 eine weitere Nullstelle ist und dass es dann keine anderen Nullstellen mehr gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mo 07.12.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wie finde ich heraus, dass x+1 eine weitere Nullstelle ist
> und dass es dann keine anderen Nullstellen mehr gibt?
Durch Polynomdivision: Du teilst über diesem neuen Körper f(Y) durch Y-x und stellst fest, daß das aufgeht. Mehr als 2 Nullstellen kann es nicht geben (Fundamentalsatz der Algebra).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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