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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mo 16.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Sei N Zerfällungskörper über [mm] \IQ [/mm] des Polynoms [mm] f=X^4+X^2-3\in \IQ[X]. [/mm] Bestimme den Grad von [mm] N/\IQ, [/mm] die Galoisgruppe [mm] Gal(N/\IQ) [/mm] und den Zwischenkörper. |
Hallo,
[mm] N/\IQ [/mm] ist Zerfällungskörper über [mm] \IQ, [/mm] also ist [mm] f=a*\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i) [/mm] in N[X] und [mm] N=K(a_1, [/mm] ..., [mm] a_n). [/mm] Den Grad von [mm] N/\IQ [/mm] haben wir als [mm] dim_\IQ(N) [/mm] definiert. Entspricht der Grad der Anzahl von [mm] N/\IQ [/mm] dem Grad von f?
Der Grad von [mm] N/\IQ [/mm] muss auf jeden Fall endlich sein, damit die Galoisgruppe [mm] Gal(N/\IQ) [/mm] existiert. Wie kann man die Galoisgruppe bestimmen?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei N Zerfällungskörper über [mm]\IQ[/mm] des Polynoms
> [mm]f=X^4+X^2-3\in \IQ[X].[/mm] Bestimme den Grad von [mm]N/\IQ,[/mm] die
> Galoisgruppe [mm]Gal(N/\IQ)[/mm] und den Zwischenkörper.
>
> [mm]N/\IQ[/mm] ist Zerfällungskörper über [mm]\IQ,[/mm] also ist
> [mm]f=a*\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)[/mm] in N[X] und [mm]N=K(a_1,[/mm] ...,
> [mm]a_n).[/mm] Den Grad von [mm]N/\IQ[/mm] haben wir als [mm]dim_\IQ(N)[/mm]
> definiert. Entspricht der Grad der Anzahl von [mm]N/\IQ[/mm] dem
> Grad von f?
Im Allgemeinen nicht. Es gilt jedoch [mm] $\dim_\IQ(N) \mid (\deg [/mm] f)!$, und falls $f$ irreduzibel ist gilt zusaetzlich [mm] $(\deg [/mm] f) [mm] \mid \dim_\IQ(N)$.
[/mm]
> Der Grad von [mm]N/\IQ[/mm] muss auf jeden Fall endlich sein, damit
> die Galoisgruppe [mm]Gal(N/\IQ)[/mm] existiert.
Der Grad ist immer endlich. Dass er hoechstens [mm] $(\deg [/mm] f)!$ ist kann man recht einfach zeigen.
> Wie kann man die Galoisgruppe bestimmen?
Zuerst wuerde ich den Zerfaellungskoerper $N$ selber genauer bestimmen. Dann kannst du anschauen, wie du die Nullstellen von $f$ permutieren kannst und welche dieser Permutationen von einem Automorphismus stammen koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 16.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
leider weiß ich nicht so genau, was ich machen muss. Ich habe jetzt gezeigt, dass f in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel ist.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> leider weiß ich nicht so genau, was ich machen muss. Ich
> habe jetzt gezeigt, dass f in [mm]\IQ[X][/mm] irreduzibel ist.
bei diesem Polynom kannst du sehr explizit die Nullstellen angeben. Mach das doch mal, und versuche damit den Zerfaellungskoerper moeglichst einach zu beschreiben und ihn besser zu verstehen. Liegen alle Nullstellen in [mm] $\IR$? [/mm] Wenn nicht, versuche $N [mm] \cap \IR$ [/mm] zu bestimmen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 16.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Als Nullstellen habe ich [mm] x_{1/2}=\pm [/mm] sqrt{-0.5+sqrt(13)*0.5} und [mm] x_{3/4}=\pm [/mm] sqrt{-0.5-sqrt(13)*0.5}, wobei [mm] x_{1/2}\in \IR [/mm] und [mm] x_{3/4}\in \IC [/mm] sind. Damit ist [mm] N=\IQ(x_1, x_3) [/mm] und N [mm] \cap \IR =\IQ(x_1). [/mm] Als nächstes würde ich nun versuchen, den Gradmultiplikationssatz anzuwenden. Dazu muss ich den Grad von [mm] N/\IQ(x_1) [/mm] und von [mm] \IQ(x_1)/\IQ [/mm] bestimmen. Stimmt das bisher?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 16.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
den Grad von [mm] \IQ(x_1,x_3)/\IQ [/mm] ist bei mir 8, denn der Grad von [mm] \IQ(x_1,x_3)/\IQ(x_1) [/mm] ist 2 und der Grad von [mm] \IQ(x_1)/\IQ [/mm] ist 4. [mm] Gal(N/\IQ) [/mm] muss also 8 Elemente besitzen und [mm] Gal(N/\IQ)=Aut(N/\IQ). [/mm] Wie kann ich nun die Galoisgruppe und den Zwischenkörperverband bestimmen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 18.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> den Grad von [mm]\IQ(x_1,x_3)/\IQ[/mm] ist bei mir 8, denn der Grad
> von [mm]\IQ(x_1,x_3)/\IQ(x_1)[/mm] ist 2 und der Grad von
> [mm]\IQ(x_1)/\IQ[/mm] ist 4.
genau.
> [mm]Gal(N/\IQ)[/mm] muss also 8 Elemente
> besitzen und [mm]Gal(N/\IQ)=Aut(N/\IQ).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich nun die
> Galoisgruppe und den Zwischenkörperverband bestimmen?
Nun, die Galoisgruppe kannst du als Untergruppe von [mm] $S_4$ [/mm] auffassen: jeder Automorphismus permutiert die vier Nullstellen [mm] $\{ x_1, -x_1, x_3, -x_3 \}$. [/mm] Jedoch gehoert nicht jede der $4! = 24$ Permutationen zu einem Automorphismus, sondern nur 8 davon.
(Die Gruppe [mm] $S_4$ [/mm] hat uebrigens drei Untergruppen der Ordnung 8, und alle sind zueinander konjugiert, also insbesondere zueinander isomorph; das folgt im Wesentlichen aus den Sylowsaetzen mit etwas Herumgerechne in [mm] $S_4$. [/mm] Da eine Untergruppe von [mm] $S_4$ [/mm] mit 8 Elementen die Gruppe Diedergruppe [mm] $D_4$ [/mm] bzw. [mm] $D_8$ [/mm] ist (4 oder 8 je nachdem welche Schreibweise du bevorzugst) steht somit der Isomorphietyp der Galoisgruppe schon fest. Das erleichtert die Arbeit etwas, denn jetzt weisst du was du herausbekommen sollst und kannst konkret versuchen was in die Richtung zu tun.)
Zuerst mal kannst du zu jedem $x [mm] \in \{ \pm x_1, \pm x_3 \}$ [/mm] einen Koerperhomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IQ(x_1) \to [/mm] N$ finden mit [mm] $\varphi(x_1) [/mm] = x$ (warum?). Diese kannst du immer auf zwei verschiedene Art und Weisen zu Automorphismen $N [mm] \to [/mm] N$ fortsetzen. Versuch das mal etwas nachzuvollziehen und zu verstehen was die Automorphismen jeweils mit den anderen Elementen [mm] $-x_1, x_3, -x_3$ [/mm] machen.
Und zu Zwischenkoerpern: du kannst ja durch Ausprobieren versuchen ein paar zu bestimmen. [mm] $\IQ(\sqrt{13})$ [/mm] und $N [mm] \cap \IR$ [/mm] solltest du schnell gefunden haben. Ansonsten bestimme erst die Galoisgruppe und bestimme dann den Untergruppenverband: dies sollte dir helfen, an die Zwischenkoerper zu kommen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mi 18.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Als Nullstellen habe ich [mm]x_{1/2}=\pm[/mm]
> sqrt{-0.5+sqrt(13)*0.5} und [mm]x_{3/4}=\pm[/mm]
> sqrt{-0.5-sqrt(13)*0.5}, wobei [mm]x_{1/2}\in \IR[/mm] und
> [mm]x_{3/4}\in \IC[/mm] sind. Damit ist [mm]N=\IQ(x_1, x_3)[/mm] und N [mm]\cap \IR =\IQ(x_1).[/mm]
sieht gut aus. Die Folgerung $N [mm] \cap \IR [/mm] = [mm] \IQ(x_1)$ [/mm] ist allerdings nicht ganz so einfach, ich bin mir nicht sicher ob du da richtig argumentiert hast.
Das folgt daraus, das $[N : [mm] \IQ(x_1)] [/mm] = 2$ ist, und das [mm] $x_3 \not\in \IR$ [/mm] ist.
Und $[N : [mm] \IQ(x_1)] [/mm] = 2$ folgt daraus, dass einmal $f = (X - [mm] x_1) [/mm] (X + [mm] x_1) \cdot [/mm] g$ ist mit [mm] $\deg [/mm] g = 2$, und $g = (X - [mm] x_3) [/mm] (X + [mm] x_3)$ [/mm] sein muss und in [mm] $\IQ(x_1)$ [/mm] keine Nullstelle hat da [mm] $x_3 \not\in \IR$ [/mm] und [mm] $x_1 \in \IR$ [/mm] ist.
> Als nächstes würde ich nun versuchen, den
> Gradmultiplikationssatz anzuwenden. Dazu muss ich den Grad
> von [mm]N/\IQ(x_1)[/mm] und von [mm]\IQ(x_1)/\IQ[/mm] bestimmen. Stimmt das
> bisher?
Ja.
Da $f$ irreduzibel ist folgt [mm] $[\IQ(x_1) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 4$. Und zu $[N : [mm] \IQ(x_1)]$ [/mm] siehe oben. Damit bekommst du $[N : [mm] \IQ] [/mm] = 8$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mi 18.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank!
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