Zerfallsfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Durch radioaktives Jod 131 belastete Pilze haben die Aktivität 5000 Bequerel (Bq), d.h. es finden pro Sekunde 5000 Kernzerfälle statt. Die Aktivität nimmt innerhalt von 3 Tagen jeweils um 23% ab.
a) Bestimmen Sie die Funktion f, welche die Aktivität der Pilze beschreibt.
b)Um wieviel Prozent nimmt die Aktivität innerhalt von 1 Tag bzw von 30 Tagen ab?
c)Wann unterschreitet die Aktivität den Wert 100 Bq?
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute, habe jetzt erst dieses tolle Forum gefunden.Leider erst etwas zu spät da ich diesen Freitag schon meine Abschlussprüfung schreibe. Jetzt bin ich der Hoffnung, ihr könnt mir ein bisschen helfen. Ich bin in Exponentialfunktionen völlig ratlos und erstrecht bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen.
Ich habe bei der Aufgabe keine Ahnung wie ich Anfangen soll, vorallem weiß ich nicht bei was für Aufgaben ich f(x)=c*a oder f(x)=c*e nehmen soll!? Wie kann ich denn sowas rausfinden? Ich hätte als Ansatz jetzt gesagt a finde ich raus indem ich 1-(23/100) rechne.Aber brauche ich hier a oder nicht?und könnt ihr mir sagen wofür k gut ist?
Es wäre sehr nett wenn ihr mir bei der Aufgabe etwas helfen könntet.
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 So 22.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Matthi und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der radioaktive Zerfall geht immer mit einer Exponentialfunktion.
die kann man eentweder als [mm] A(t)=A_0*e^{-kt} [/mm] schreiben, t ist die Zeit, [mm] A_0 [/mm] die Aktivität am Anfang.
wir messen die Zeit in Tagen und müssen k, die"Zerfallskonstante" bestimmen.Wir wir [mm] wissenA_0=5000, [/mm] und nach 3 Tagen 23% weniger also noch 77%
also A(3)=0,77*5000.
Dann haben wir [mm] 0,77*5000=5000*e^{-k*3} [/mm] durch 5000 teilen:
[mm] 0,77=e^{-k*3} [/mm] jetzt auf beiden Seiten ln
ln0,77=-k*3
k=-ln0,77/3.
Damit hast du die gesuchte Funktion die ihr f statt A nennt also [mm] f(t)=5000*e^{-0,087*t}
[/mm]
Vielleicht habt ihr es anders gemacht:
[mm] f(t)=f_0*a^t [/mm] jetzt kennst du a nicht
aber [mm] f(3)=5000*0,77=5000*a^3
[/mm]
wieder durch 5000 dann hast du [mm] a^3=0,77 a=\wurzel[3]{0,77}=0,916
[/mm]
also [mm] f(t)=5000*0,916^t
[/mm]
nach 1 Tag f(1) ausrechnen, das ist 0,916*5000 also nimmt die Aktivität um 0,084 also 8,4% ab.
30 Tage kannst du jetzt selbst, einfach für t 30 einsetzen.
Wann ist sie noch 100
[mm] 100=5000*0,916^t [/mm] oder [mm] 100=5000*e^{-0,087*t}
[/mm]
durch 5000 teilen dann mit ln oder log auf beiden Seiten und du hast t.
Ich hoff, du erinnerst dich wieder an das, was ihr sicher schon mal gemacht habt!
Wenns noch Fragen gibt, sag genau, wo es hakt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
hey, vielen Dank das hat mir schon gut weitergeholfen. Nur einen Teil habe ich nicht verstanden und zwar:
also A(3)=0,77*5000.
Dann haben wir (hier steht die Formel die ich leider nicht kopieren konnte) durch 5000 teilen
also dass ich f(3) mit 0,77*5000 rausbekomme ist logisch.Nur wie man dann zu der Formel kommt in der Zeile darunter, das verstehe ich nicht.Kannst du mir das nochmal erklären? Dankeschön 
Achja und was mir grad auffällt was ich absolut nicht verstehe ist: aber [mm] f(3)=5000*0,77=5000*a^3 [/mm]
wieder durch 5000 dann hast du [mm] a^3=0,77 a=\wurzel[3]{0,77}=0,916 [/mm]
also [mm] f(t)=5000*0,916^t [/mm]
wie kommst du von 5000*0,77 auf 5000*a³? und wieso ist plötzlich ein 2. a in der funktion wenn ich durch 5000 teile?
Dankeschön :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 So 22.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Matthi
Wir wollen doch eine Funktion [mm] f=f_0*a^t [/mm] dabei ist t die Zeit in Tagen, bei 3 Tagen ist die Funktion also [mm] f=f_0*a^3
[/mm]
(nach 12 Tagen wäre sie [mm] f_0*a^{12} [/mm] usw.
anderersets wissen wir aber dass f(3) also die aktivität nach 3 Tagen nach den Angaben 0,77*5000 ist.
also f(3)=0,77*5000 und [mm] f(3)=5000*a^3
[/mm]
da beides f(3) ist sind die beiden rechten Seiten gleich.
> also A(3)=0,77*5000.
> Dann haben wir (hier steht die Formel die ich leider nicht
> kopieren konnte) durch 5000 teilen
>
> also dass ich f(3) mit 0,77*5000 rausbekomme ist
> logisch.Nur wie man dann zu der Formel kommt in der Zeile
> darunter, das verstehe ich nicht.Kannst du mir das nochmal
> erklären? Dankeschön
> Achja und was mir grad auffällt was ich absolut nicht
> verstehe ist: aber [mm]f(3)=5000*0,77=5000*a^3[/mm]
> wieder durch 5000 dann hast du [mm]a^3=0,77 a=\wurzel[3]{0,77}=0,916[/mm]
> also [mm]f(t)=5000*0,916^t[/mm]
> wie kommst du von 5000*0,77 auf 5000*a³? und wieso ist
> plötzlich ein 2. a in der funktion wenn ich durch 5000
> teile?
Hat meine Erklärung gereicht?
Du kannst immer meinen Text mit dem Knopf "zitieren" unter deiner Eingabeseite in dein Textfenster kriegen, und dann deine Fragen an den entsprechenden Stellen einfügen!
habt ihr nun früher mit der e fkt oder mit einer Zahl hoch t gerechnet?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> also f(3)=0,77*5000 und [mm]f(3)=5000*a^3[/mm]
> da beides f(3) ist sind die beiden rechten Seiten gleich.
so okay das erste habe ich jetzt verstanden vielen dank aber dass die beiden rechten seiten gleich sind das verstehe ich einfach nicht.Da komm ich nicht hinter. also f(3)=0,77*5000 das verstehe ich ja auch nur dieses a³ nicht.Oder sollen das 2 verschiedene Funktionen sein sprich f(x)=c*a und f(x)=c*e??
Also wir rechnen mit der e Fkt und dann hoch k*t falls ich deine Frage jetzt richtig verstanden habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 So 22.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
also wenn ihr immer mit e-fkt gerechnet habt, vergiss das mit dem a.
also [mm] f(t)=f_0*e^{-k*t} [/mm] bei dir [mm] f_0=5000
[/mm]
f(3) ist dann [mm] f(3)=5000*e^{-k*3}=0,77*5000
[/mm]
ich hab mit dem noch unbekannten k die Zeit 3 eingestzt und weiss dass dann 0,77*5000 rauskommen muss.
dann hat man [mm] 0,77=e^{-k*3} [/mm] ln auf beiden Seiten:
ln0,77=-k*3 daraus k ausrechnen.
dann hast du [mm] f(t)=5000*e^{-0,087*t}
[/mm]
nach einem Tag also t=1 [mm] f(1)=5000*e^{-0,87}
[/mm]
nach 30 Tagen [mm] f(30)=5000*e^{-0,087*30}
[/mm]
und du hast nur noch 100 nach der unbekannten Zeit t
[mm] 100=5000*e^{-0,087*t}
[/mm]
[mm] 1/50=e^{-0,087*t} [/mm] logarithmieren:
ln 0,02=-0,087*t daraus t ausrechnen.
Gruss leduart
|
|
|
|
