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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 So 18.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
| Aufgabe | Es sei [mm]x\in\IR^{n}[/mm] ein Vektor mit der Eigenschaft [mm]x^{t}x = 1[/mm] und [mm]H := I_{n} - 2xx^{t} \in M_{n,n}(\IR)[/mm].
a) Zeigen Sie, dass jeder Vektor [mm]y \in \IR^{3}[/mm] eine Zerlegung y [mm] =\alpha [/mm] x + w mit [mm] \alpha \in \IR[/mm] besitzt, in der [mm]x^{t}w = 0[/mm] gilt. Geben Sie diese Zerlegung an.
b) Berechnen Sie H*H und zeigen Sie, dass [mm]H(y) = - \alpha x + w[/mm] für [mm]y = \alpha x + w [/mm] gemäß a).
c) Geben Sie eine geometrische Interpretation für H in dem Fall, dass [mm]x = e_{3} \in \IR^{3}[/mm] ist. |
Hallo,
die Zerlegung bei der a) sieht ja irgendwie nach einer Geradengleichung aus. Kann man nicht einfach für w den Nullpunkt nehmen und x=y setzen? Oder versteh ich die Aufgabe vielleicht falsch?
Bei der b) hab ich leider überhaupt keinen Ansatz. Ich weiß auch nicht, wie ich hier H*H berechnen soll?!
Die c) konnte ich aber, glaube ich. H ist dann doch einfach eine Abbildungsmatrix, die einen Punkt an der x,y-Ebene spiegelt, oder?
Grüße, Lucy
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Hallo Lucy,
hier eine kurze Rückmeldung:
> Es sei [mm]x\in\IR^{n}[/mm] ein Vektor mit der Eigenschaft [mm]x^{t}x = 1[/mm]
> und [mm]H := I_{n} - 2xx^{t} \in M_{n,n}(\IR)[/mm].
Nur um sicherzugehen: [mm] I_{n} [/mm] bezeichnet die Einheitsmatrix der Größe [mm] n\times \a{}n?
[/mm]
> a) Zeigen Sie,
> dass jeder Vektor [mm]y \in \IR^{3}[/mm] eine Zerlegung y [mm]=\alpha[/mm] x
> + w mit [mm]\alpha \in \IR[/mm] besitzt, in der [mm]x^{t}w = 0[/mm] gilt.
> Geben Sie diese Zerlegung an.
> b) Berechnen Sie H*H und zeigen Sie, dass [mm]H(y) = - \alpha x + w[/mm]
> für [mm]y = \alpha x + w[/mm] gemäß a).
Unschön formuliert. In der Grundaufgabe hätte es besser gleich [mm] \a{}H(x) [/mm] geheißen statt einfach nur [mm] \a{}H
[/mm]
> c) Geben Sie eine geometrische Interpretation für H in dem
> Fall, dass [mm]x = e_{3} \in \IR^{3}[/mm] ist.
Die erste Festlegung auf eine Koordinate. Was würde sich an der Aufgabe ändern, wenn hier [mm] e_2 [/mm] statt [mm] e_3 [/mm] gestanden hätt? Überleg das mal, ich denke, es hilft für das Verständnis der Aufgabe.
> Hallo,
> die Zerlegung bei der a) sieht ja irgendwie nach einer
> Geradengleichung aus. Kann man nicht einfach für w den
> Nullpunkt nehmen und x=y setzen? Oder versteh ich die
> Aufgabe vielleicht falsch?
Das ist falsch. [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] spannen "normalerweise" eine Ebene auf, in der die Behauptung leicht nachzuvollziehen ist. Da, wo das Wort "normalerweise" nicht gilt, ist die Lösung noch einfacher.
> Bei der b) hab ich leider überhaupt keinen Ansatz. Ich
> weiß auch nicht, wie ich hier H*H berechnen soll?!
Setze das eindeutig definierte H aus Aufgabenteil H ein. Hier zeigt sich das oben schon monierte Problem: H(y) ist nicht notwendig das Gleiche wie H! Lass dich also durch den zweiten Satz nicht verwirren. Das ist eine Folgeaufgabe.
> Die c) konnte ich aber, glaube ich. H ist dann doch
> einfach eine Abbildungsmatrix, die einen Punkt an der
> x,y-Ebene spiegelt, oder?
Ich habs nicht gerechnet, denke aber das gleiche. Wie sieht denn solch eine Matrix aus? Ist das konsistent mit der in a) gegebenen Form?
> Grüße, Lucy
lg,
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:56 So 18.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
> Hallo Lucy,
>
> hier eine kurze Rückmeldung:
>
> > Es sei [mm]x\in\IR^{n}[/mm] ein Vektor mit der Eigenschaft [mm]x^{t}x = 1[/mm]
> > und [mm]H := I_{n} - 2xx^{t} \in M_{n,n}(\IR)[/mm].
>
> Nur um sicherzugehen: [mm]I_{n}[/mm] bezeichnet die Einheitsmatrix
> der Größe [mm]n\times \a{}n?[/mm]
>
Ja.
> > a) Zeigen Sie,
> > dass jeder Vektor [mm]y \in \IR^{3}[/mm] eine Zerlegung y [mm]=\alpha[/mm] x
> > + w mit [mm]\alpha \in \IR[/mm] besitzt, in der [mm]x^{t}w = 0[/mm] gilt.
> > Geben Sie diese Zerlegung an.
> > b) Berechnen Sie H*H und zeigen Sie, dass [mm]H(y) = - \alpha x + w[/mm]
> > für [mm]y = \alpha x + w[/mm] gemäß a).
>
> Unschön formuliert. In der Grundaufgabe hätte es besser
> gleich [mm]\a{}H(x)[/mm] geheißen statt einfach nur [mm]\a{}H[/mm]
>
> > c) Geben Sie eine geometrische Interpretation für H in dem
> > Fall, dass [mm]x = e_{3} \in \IR^{3}[/mm] ist.
>
> Die erste Festlegung auf eine Koordinate. Was würde sich an
> der Aufgabe ändern, wenn hier [mm]e_2[/mm] statt [mm]e_3[/mm] gestanden hätt?
> Überleg das mal, ich denke, es hilft für das Verständnis
> der Aufgabe.
Dann hätte ich eine Spiegelung an der x1,x3-Ebene, oder?
>
> > Hallo,
> > die Zerlegung bei der a) sieht ja irgendwie nach einer
> > Geradengleichung aus. Kann man nicht einfach für w den
> > Nullpunkt nehmen und x=y setzen? Oder versteh ich die
> > Aufgabe vielleicht falsch?
>
> Das ist falsch. [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] spannen "normalerweise"
> eine Ebene auf, in der die Behauptung leicht
> nachzuvollziehen ist. Da, wo das Wort "normalerweise" nicht
> gilt, ist die Lösung noch einfacher.
>
Das versteh ich noch nicht so ganz. Muss ich dann vielleicht x=(1 0 0) und w=(0 y2 y3) wählen?
> > Bei der b) hab ich leider überhaupt keinen Ansatz. Ich
> > weiß auch nicht, wie ich hier H*H berechnen soll?!
>
> Setze das eindeutig definierte H aus Aufgabenteil H ein.
> Hier zeigt sich das oben schon monierte Problem: H(y) ist
> nicht notwendig das Gleiche wie H! Lass dich also durch den
> zweiten Satz nicht verwirren. Das ist eine Folgeaufgabe.
>
Also muss ich [mm][mm] (I_{n} [/mm] - [mm] 2xx^{t})^{2} [/mm] bestimmen? Aber wie? Und die Matrix müsste ich dann auf y anwenden, oder?
> > Die c) konnte ich aber, glaube ich. H ist dann doch
> > einfach eine Abbildungsmatrix, die einen Punkt an der
> > x,y-Ebene spiegelt, oder?
>
> Ich habs nicht gerechnet, denke aber das gleiche. Wie sieht
> denn solch eine Matrix aus? Ist das konsistent mit der in
> a) gegebenen Form?
Als Matrix hab ich hier: [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1} [/mm] Da sehe ich den Zusammenhang zur a) aber gerade irgendwie nicht..
>
> lg,
> reverend
Grüße Lucy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 21.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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