Zerlegung in Elementarmatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Jetzt dachte ich, ich hätte endlich eine Erklärung gefunden für eine der vielen Sachen, die ich noch nie wirklich verstanden habe. Aber leider ist das Entscheidende hier auch nicht erklärt, und irgendwie bin ich zu blöd dazu, selber drauf zu kommen. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dies hier ist ein Beispiel, wie man die Inverse einer Matrix berechnet. Das Vorgehen ist mir klar, allerdings kann man doch jetzt auch A als Produkt von Elementarmatrizen schreiben. Frage ist jetzt nur, welches hier die Elementarmatrizen sind, die ich multiplizieren muss. Ich habe versucht, die Matrizen auf der rechten Seite von unten nach oben miteinander zu multiplizieren (also von der Reihenfolge her die unterste als Erste), aber entweder habe ich mich da total verrechnet, oder es ist einfach verkehrt. Aber welches sind denn dann die Elementarmatrizen, die ich suche?
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 Mo 12.09.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Christiane und eine schöne neue Woche!
Wenn ich in meinem Gedächtnis krame und mich richtig erinnere, dann sind die Elementarmatrizen einmal die mit Einsen in der Hauptdiagonalen und einem weiteren [mm] \lambda [/mm] außerhalb der Diagonalen. Wenn ich mit so einer von links multipliziere, dann addiere ich das [mm] \lambda-fache [/mm] einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese Matrix ist invertierbar, weil die Determinante = 1 ist. Aufgabe für dich: Was ist die inverse Matrix?
Dann brauche ich noch die Matrizen, die aus der Einheitsmatrix durch Vertauschen von 2 Zeilen hervorgehen. Bei Multiplikation von links vertauschen die einfach 2 Zeilen. So eine Matrix ist invertierbar.
Und dann will ich ja noch Zeilen mit einem Faktor [mm] \not= [/mm] 0 multiplizieren. Dazu muß ich einfach in der Einheitsmatrix an der richtigen Stelle eine 1 durch ein durch ein [mm] \lambda [/mm] ersetzen. Wenn [mm] \lambda \not= [/mm] 0 ist, ist die Matrix invertierbar, weil die Determinante = [mm] \lambda [/mm] ist.
Du kannst dir das alles an (2 x 2)-Matrizen klarmachen!
Für Rückfragen stehe ich selbstverständlich gerne zur Verfügung. Ansonsten schöne Grüße aus dem herbstlichen HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mo 12.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi und auch von mir einen schönen guten Morgen !!
du bringst hier leicht etwas durcheinander.
Das war da auf der rechten Seite steht sind bereits nach einander (von oben nach unten) die Produkte der Elementarmatrizen !
Wie sehen die Elementarmatrizen wirklich aus?
also [mm] P^1_2 [/mm] kann man schon ablesen , das soll die erste und zweite Zeile vertauschen, dies macht die Matrix : [mm] $P^1_2=\pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&0&1}$
[/mm]
alle anderes Elementarmatrizen findest du HIER oder zum Beispiel im Fischer ganz gut beschrieben.
Warum steht jetzt aber rechts schon das Produkt ?
Also was haben wir denn mit den Elementarmatrizen vor?
Wir versuchen aus A durch multiplikation von rechts (als Zeilenoperationen) mit Elementarmatrizen T die Einheitsmatrix zu basteln, also:
[mm] $(\ldots ((A*T_1)*T_2)* \ldots )*T_n=E_n$
[/mm]
wobei hier jede Klammerung einen Schritt in dem Umwandlungsprozess deines Bildes darstellt.
dann ist aber gerade [mm] $(T_1*...*T_n)$ [/mm] die Inverse (die wir eigentlich gesucht haben)
und jetzt kommt der springende Punkt:
[mm] $(T_1*...*T_n)=E_n*(T_1*...*T_n)=(...(E_n*T_1)*...*T_n)$
[/mm]
d.h. wenn wir dieselben Operationen, die wir an A durchführen auch an der Einheitsmatrix machen, haben wir schon unser Protokoll und müssen nicht die Elementarmatrizen zum Schluss explizit zusammen multiplizieren, denn das haben wir schon bei jedem Schritt ein bischen gemacht.
ich hoffe es ist jetzt klarer, was auf der rechten Seite steht.
Die Elementarmatrizen musst du dir mal aus einem Buch abschreiben oder so (vielleicht habe ich heut abend wieder Zeit) und kannst ja dann mal versuchen sie entsprechend zusammen zu multiplizieren, dann müsste eigentlich [mm] $A^{-1}$ [/mm] rauskommen.
viele Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dieter, hallo Andreas!
Danke für eure Antworten. Leider fehlt mir das Entscheidende aber immer noch. Was die Elementarmatrizen sind, das weiß ich, das steht auch hier genau in dem Kapitel, wo ich dieses Beispiel herhatte (das ist übrigens der Fischer...).
Mein eigentliches Problem war aber nicht, dass ich die inverse Matrix berechnen wollte (denn das weiß ich schon lange, wie man das macht), sondern wie man A als Produkt von Elementarmatrizen darstellt. Ich hoffe, damit ist das jetzt mal klar gesagt, was ich suche.
Vielleicht eine kleine Ergänzung:
Im Fischer steht der Satz: Jede invertierbare Matrix [mm] A\in M(n\times [/mm] n;K) ist (endliches) Produkt von Elementarmatrizen.
Demnach geht das, was ich haben will.
Beim Beweis dieses Satzes steht am Ende:
Daraus folgt [mm] A^{-1}=B_s*...*B_1, [/mm] also [mm] A=B_1^{-1}*...*B_s^{-1}
[/mm]
Hierbei sind die [mm] B_i [/mm] jeweils Elementarmatrizen, so dass A nur durch Zeilenumformungen umgeformt wurde.
Nun habe ich mal, nachdem ich jetzt weiß, dass ja auf der rechten Seite schon die Produkte stehen, wirklich nur die einzelnen Elementarmatrizen genommen, also angefangen mit [mm] P_2^1, [/mm] dann [mm] Q_3^1(-1) [/mm] usw. und die alle multipliziert. Wobei ich der Meinung bin, Andreas, dass du das genau falsch herum geschrieben hast. Im Fischer steht: [mm] B_s*...*B_1*A=E_n [/mm] (also von links multipliziert). Das heißt, [mm] B_s*...*B_1 [/mm] wäre jetzt meine inverse Matrix. Nun habe ich aber genau das einmal multipliziert, und da kommt etwas anderes heraus. Aber wäre das nicht eigentlich der richtige Weg? Also A wäre dann [mm] B_1^{-1}*...*B_s^{-1} [/mm] - oder kann man das noch anders berechnen?
Ich hoffe, ich habe jetzt nicht noch mehr Verwirrung gestiftet. Ihr dürft mir gerne meine Frage, wie ich nun A als Produkt von Elementarmatrizen schreibe, einfach so beantworten, ohne meine kläglichen Versuche hier durchzulesen...
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du hast Recht, es geht genau so, wie du beschrieben hast. Du musst dich also verrechnet haben. Stelle deine komplette Rechnung doch mal online zur Kontrolle.
Ansonsten findest du ![[]](/images/popup.gif) hier ein durchgerechnetes Beispiel (Aufgabe 32 + Lösung).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Du hast Recht, es geht genau so, wie du beschrieben hast.
> Du musst dich also verrechnet haben. Stelle deine komplette
> Rechnung doch mal online zur Kontrolle.
Danke für deine Antwort - hier meine Rechnung. Ich bin mir mittlerweile nicht mehr so ganz sicher, ob ich das wirklich so multiplizieren darf, aber eigentlich kann ich die Klammern doch setzen, wie ich will, oder? Also gilt: ((A*B)*C)*D=(A*B)*(C*D) oder nicht? Jedenfalls habe ich das so gemacht, damit ich etwas weniger rechnen muss.
Es kann aber auch sein, dass ich die "Kurzschreibweise" der Elementarmatrizen falsch "übersetzt" habe. Also eigentlich weiß ich, dass z. B. [mm] P_2^1 [/mm] die erste und zweite Zeile vertauscht, aber evtl. ist mir bei so etwas schon direkt am Anfang ein Fehler unterlaufen. Ansonsten ist es wohl ein Rechenfehler.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Ansonsten findest du
> hier
> ein durchgerechnetes Beispiel (Aufgabe 32 + Lösung).
Danke. Allerdings habe ich da auch mal versucht, es alleine zu rechnen, und schon ganz am Anfang etwas anderes heraus... Erstmal bleibe ich dann noch bei meinem Beispiel.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du hast dich bei [mm] $Q_1^3(-7) \cdot Q_1^2(-2)$ [/mm] verrechnet und dort eine $-7$ unterschlagen (bzw. für eine $-1$ gehalten?).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Mo 12.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Christiane,
kann der Editor (3 x 3)-Matrizen? Ich greife mal zu einem Behelf.
Es ist nämlich (hoffentlich)
(1 0 0/0 1 4/0 0 1) [mm] \*(1 [/mm] 0 -7/0 1 0/0 0 1) [mm] \*(1 [/mm] -2 0/0 1 0/0 0 1) [mm] \*
[/mm]
(1 0 0/0 1 0/0 0 -1) [mm] \*(1 [/mm] 0 0/0 1 0/0 1 1) [mm] \*(1 [/mm] 0 0/0 1 0/-1 0 1) [mm] \*
[/mm]
(0 1 0/1 0 0/0 0 1) = [mm] A^{-1}
[/mm]
Jetzt weiß man, daß die Inversen der Elementarmatrizen auch wieder Elementarmatrizen sind und wie sie aussehen, und schon kann man A wie gewünscht hinschreiben.
Ich habe keine Probe gemacht!
Mittaaaach!
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dieter!
\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 } ergibt dann [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }$
[/mm]
Diese Matrizen kannst Du dann beliebig erweitern ...
Gruß und Mahlzeit 
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dieter!
> kann der Editor (3 x 3)-Matrizen? Ich greife mal zu einem
> Behelf.
Also, das hat Loddar dir ja jetzt schon erklärt.
> Es ist nämlich (hoffentlich)
>
> (1 0 0/0 1 4/0 0 1) [mm]\*(1[/mm] 0 -7/0 1 0/0 0 1) [mm]\*(1[/mm] -2 0/0 1
> 0/0 0 1) [mm]\*[/mm]
> (1 0 0/0 1 0/0 0 -1) [mm]\*(1[/mm] 0 0/0 1 0/0 1 1) [mm]\*(1[/mm] 0 0/0 1
> 0/-1 0 1) [mm]\*[/mm]
> (0 1 0/1 0 0/0 0 1) = [mm]A^{-1}[/mm]
Also, ich habe das gerade mal mit meiner "Rechnung" verglichen, da habe ich die gleichen Matrizen stehen. Wer also meine Rechnung da oben kontrolliert, braucht danach wohl schon mal nicht mehr zu gucken. Naja, wer weiß, vielleicht haben wir uns ja beide irgendwo vertan. Aber wahrscheinlich war es wirklich oben irgendwo ein Rechenfehler...
> Jetzt weiß man, daß die Inversen der Elementarmatrizen auch
> wieder Elementarmatrizen sind und wie sie aussehen, und
> schon kann man A wie gewünscht hinschreiben.
Ja, das war ja auch eigentlich meine Frage, da sollte ich mich auch gleich mal dran machen, das zu berechnen.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo wer auch immer das hier noch liest!
Nur der Vollständigkeit halber poste ich jetzt auch noch das, was ich eigentlich gesucht habe. Also die Elementarmatrizen, deren Produkt die Matrix A ergibt:
[mm] A=\pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&0&1}\pmat{1&0&0\\0&1&0\\1&0&1}\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1}\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}\pmat{1&2&0\\0&1&0\\0&0&1}\pmat{1&0&7\\0&1&0\\0&0&1}\pmat{1&0&0\\0&1&-4\\0&0&1}
[/mm]
Viele Grüße und danke für alle Hilfen
Christiane
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![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
Ich hatte gar nicht gemerkt, dass nur die erste Zeile verkehrt war. Deswegen war ich auch anfangs noch etwas unsicher, ob das Verfahren so richtig ist. Aber jetzt stimmt es ja. 
