Zerlegung in Elementarmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>zerlege die folgende Matrix in Elementarmatrizen:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0&1 &1} [/mm]
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So zerlegen in Elementarmatrizen, bzw in ein Produkt daraus um die Matrix so darzustellen funktionier ja indem ich es parallel dazu in die einheitsmatrix umforme und jeden einzelnen schritt dokumentiere und als eine der elementarmatrizen kennzeichne. Es gibt 3 typen von elementarmatrizen:
1. zeilen vertauschen
2. vielfache einer zeile
3. vielfache einer zeile mit anderer zeile addieren
Bin dann jetzt so vorgegangen:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0&1 &1} \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &1} \\
[/mm] ;
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0& -1 & -1} \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0& -1 & -1} \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
[mm]%5Cpmat%7B%20-1%20%26%20-1%20%26%200%5C%5C%201%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%26%20-1%20%26%20-1%7D%20%20%5Cpmat%7B-%201%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%201%20%26%20-1%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20-1%7D%20%5C%5C%20%0A[/mm] ;
[mm]\pmat{ -1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0& -1 & -1} \pmat{- 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
[mm]\pmat{ -1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& -1 & -1} \pmat{- 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
[mm]\pmat{ -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& -1 & -1} \pmat{0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
[mm]%5Cpmat%7B%20-1%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%5C%5C%200%26%200%20%26%20-1%7D%20%20%5Cpmat%7B0%20%26%20-1%20%26%201%5C%5C%201%20%26%20-1%20%26%201%5C%5C%201%20%26%20-1%20%26%200%7D%20%5C%5C%20%0A[/mm] ;
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & -1} \pmat{0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0} \\
[/mm];
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1} \pmat{0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 0} \\
[/mm]
so Umformung fertig.
Sieht mein Produkt dann jetzt so aus: [mm]A^{-1} =\pmat{0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 0} \pmat{0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0} \pmat{0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0} \pmat{0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1}\pmat{-1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1} \pmat{-1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1} \pmat{-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1} \\ \pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1} \pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm]
Habe ich das jetzt richtig gemacht oder bin ich irgendwo falsch abgebogen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo,
könntest du die Umformungskette mal erklären, ich hab erst letztens eine ähnliche Aufgabe gerechnet und ich verstehe nicht ganz deinen Weg.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Do 26.09.2013 | | Autor: | Grapadura |
Hi,
klar kann ich das. Rechts steht die einheitsmatrix die ich umforme während ich die linke in die einheitsmatrix umforme.
dabei bin ich so vorgegangen dass ich zuerst unterste zeile mal (-1) und dann zur 2. zeile dazu addiert habe.Dann 1. Zeile mal -1 und zu 2. Zeile, anschließend 2. Zeile mal -1 und zu 1. und 3. Zeile addiert und dann alles mal -1 um die negativen wegzubekommen.
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ist das angekommen oder ist das nicht angezeigt wirklich, da ich es als Mitteilung gemacht habe?
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> ist das angekommen oder ist das nicht angezeigt wirklich,
> da ich es als Mitteilung gemacht habe?
Hallo Grapadura,
ich vermute mal, dass alles angekommen ist, was du
abgeschickt hast. Das Problem liegt anderswo, und
zwar möglicherweise darin, dass du die ganze Aufgabe
missverstanden hast.
Wenn du mittels Zeilenumformungen die Matrix M
in die Einheitsmatrix E umformst und parallel dazu
die Einheitsmatrix E denselben Umformungen unter-
ziehst und damit am Ende (wenn links E steht) rechts
eine Matrix N hast, so hast du durch diese Rechnungen
keineswegs die Matrix M in ein Produkt von "Elementar-
Matrizen" zerlegt, sondern du hast schlicht und einfach
die zu M inverse Matrix N berechnet: $\ N\ =\ [mm] M^{-1}$
[/mm]
Ich kann dich insofern etwas beruhigen, als dir diese
Invertierung offenbar auch gelungen ist:
![[]](/images/popup.gif) Wolfram: inverse Matrix berechnen
LG , Al-Chwarizmi
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Oh.. und wie gehe ich dann jetzt weiter vor? Ich brauche doch die Umformungen die ich da gemacht habe irgendwie, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hey,
die Umformungskette brauchst du schon. Allerdings von der Einheitsmatrix in die zu bildende Matrix.
Ich bin gerade dabei deine Rechnung mal aufzustellen, um keinen Blödsinn zu schreiben. Und ja, es hat mich etwas verwirrt, daß du zu [mm] A^{-1} [/mm] umgeformt hast.
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo,
du hast ja bereits die Umformung von der Einheitsmatrix in deine zu Bildende Matrix vorgenommen.
Ich nenne diese Matrix einfach mal A.
Ich habe das gerade auch gemacht.
Von A ausgehend die erste von der zweiten Zeile abziehen,
dann die zweite von der dritten abziehen,
dann die dritte von der ersten abziehen
und als letztes die Zeilen zwei und drei tauschen.
Damit entsteht [mm] I_{3}
[/mm]
Es sind also nur diese vier Schritte auszuführen.
Diese Schritte können auch durch die Multiplikation von Elementarmatritzen durchgeführt werden.
Kennst du das?
Grüße,
Micha
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Nein, das kenne ich irgendwie gerade nicht. und wieviele Elementarmatrizen bekomme ich dann da heraus?
ich verstehe gerade nur bahnhof irgendwie und wäre über ein simples beispiel dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Als Beispiel:
Du möchtest eine elementare Zeilenumformung vornehmen. Und möchtest von A die erste Zeile von der zweiten abziehen.
Dann kannst du das machen, indem du schreibst:
[mm] \pmat{1&1&0\\1&1&1 \\0&1&1 } [/mm] Ziehe die erste von der zweiten Zeile ab ergibt: [mm] \pmat{1&1&0\\0&0&1 \\0&1&1 }
[/mm]
Oder du rechnest:
[mm] \pmat{1&0&0\\-1&1&0 \\0&0&1 } \pmat{1&1&0\\1&1&1 \\0&1&1 }=\pmat{1&1&0\\0&0&1 \\0&1&1 }
[/mm]
Dabei ist [mm] \pmat{1&0&0\\-1&1&0 \\0&0&1 } [/mm] die Elementarmatrix, die (von links multipliziert) die erste von der zweiten Zeile abzieht.
Ist das soweit klar?
Kennst du noch weitere Elementarmatritzen?
Micha
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$ [mm] \pmat{1&0&0\\-1&1&0 \\0&0&1 } \pmat{1&1&0\\1&1&1 \\0&1&1 }=\pmat{1&1&0\\0&0&1 \\0&1&1 } [/mm] $
ok das heißt meine nächste Elementarmatrix wäre die Umformung in: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0&1&1} [/mm]
Und das geht dann über die Elementarmatrix: [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&-1 \\0&1&0 } \pmat{1&1&0\\0&0&1 \\0&1&1 }=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0&1&1}[/mm]
so? irgendwie will mir das nicht so recht in den Kopf, wie genau finde ich diese matrizen denn ,ohne groß herumprobieren zu müssen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Die Bildung dieser Elementarmatritzen sind bei mir im Script aufgeführt.
Ist aber auch hier :
http://de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix
nachzulesen.
Ich denke aber, daß in deiner Aufgabe, A durch die Multiplikation von Elementarmatritzen erzeugt werden soll und nicht durch Elementarmatritzen die Einheitsmatrix erzeugt werden soll.
Es geht also auch anders herum.
Das ist aber nur eine Annahme. Hilfreich ist es immer, wenn die genaue Aufgabe auch wirklich hier im Forum steht.
So, ich mach für heute Schluß,
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Do 26.09.2013 | | Autor: | Grapadura |
vielen dank!
das war aber leider auch die genaue Aufgabenstellung. Nicht mehr und nicht weniger, leider.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Fr 27.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
So, wollen wir die Aufgabe noch mal angehen?
Wenn ja, dann versuche doch mal von [mm] I_3 [/mm] zu deiner Vorgegebenen Matrix A zu kommen. Da jeder Schritt dann im Anschluß durch eine Multiplikation einer Elementarmatrix vorgenommen wird, versuche hier möglichst wenig Schritte zu verwenden. Ich habe vier Schritte gebraucht.
Folglich bekommen wir hinterher auch nur vier Elementarmatritzen, die A erzeugen können.
Grüße,
Micha
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> <br>zerlege die folgende Matrix in Elementarmatrizen:
>
> A:=[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0&1 &1}[/mm]
>
>
>
> <br>
Hallo,
A ist eine invertierbare Matrix, sie hat den Rang 3.
Du kannst sie durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix umformen.
Dies hast Du auch getan. (Daß Du rechts gleich die inverse Matrix hergestellt hast, schadet nicht, man braucht das aber nicht.)
> Es gibt 3 typen von
> elementarmatrizen:
Welche, die
> 1. zeilen vertauschen
> 2. vielfache einer zeile
> 3. vielfache einer zeile mit anderer zeile addieren
Ja.
>
> Bin dann jetzt so vorgegangen:
Nun wäre es noch ganz neckisch gewesen, hättest Du notiert, was Du jeweils tust.
Zu jeder Operation gehört eine Elementarmatrix, welche dann links an die Matrix heranmultipliziert wird.
Für die Elementarmatrizen verwende ich die Bezeichnungen aus dem wikipedia-Artikel, auf welchen Du schon hingewiesen wurdest.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0&1 &1}=A \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &1} \\
[/mm]
3.Zeile [mm] \*(-1):
[/mm]
> ;
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0& -1 & -1}=S_3(-1)*A \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
3.Zeile zur 2.Zeile addieren:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0& -1 & -1}=R_3_2(1)*S_3(-1)*A \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
usw.
>
> [mm]%2525255Cpmat%2525257B%25252520-1%25252520%25252526%25252520-1%25252520%25252526%252525200%2525255C%2525255C%252525201%25252520%25252526%252525200%25252520%25252526%252525200%2525255C%2525255C%252525200%25252526%25252520-1%25252520%25252526%25252520-1%2525257D%25252520%25252520%2525255Cpmat%2525257B-%252525201%25252520%25252526%252525200%25252520%25252526%252525200%2525255C%2525255C%252525200%25252520%25252526%252525201%25252520%25252526%25252520-1%2525255C%2525255C%252525200%25252520%25252526%252525200%25252520%25252526%25252520-1%2525257D%25252520%2525255C%2525255C%25252520%2525250A[/mm]
> ;
> [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0& -1 & -1} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\pmat{- 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
>
> [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& -1 & -1} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \pmat{- 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& -1 & -1}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \pmat{0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1} \\
[/mm];
>
> [mm]%2525255Cpmat%2525257B%25252520-1%25252520%25252526%252525200%25252520%25252526%252525200%2525255C%2525255C%252525200%25252520%25252526%252525201%25252520%25252526%252525200%2525255C%2525255C%252525200%25252526%252525200%25252520%25252526%25252520-1%2525257D%25252520%25252520%2525255Cpmat%2525257B0%25252520%25252526%25252520-1%25252520%25252526%252525201%2525255C%2525255C%252525201%25252520%25252526%25252520-1%25252520%25252526%252525201%2525255C%2525255C%252525201%25252520%25252526%25252520-1%25252520%25252526%252525200%2525257D%25252520%2525255C%2525255C%25252520%2525250A[/mm]
> ;
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & -1} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \pmat{0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0} \\
[/mm];
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \pmat{0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 0} \\
[/mm]
>
> so Umformung fertig.
Am Ende hast Du dann ein Produkt
[mm] I_3=E_1*E_2*...*E_k*A,
[/mm]
Die [mm] E_i [/mm] stehen hier für Deine Elementarmatrizen.
Es sollte nun einsichtig sein, daß
[mm] E_1*E_2*...*E_k=A^{-1}. [/mm]
(Sonst ergäbe das Produkt mit A ja nicht die Einheitsmatrix).
Also ist [mm] A=(E_1*E_2*...*E_k)^{-1}=E_k^{-1}*...*E_2^{-1}*E_1^{-1}.
[/mm]
Die Inversen der Elementarmatrizen kann man natürlich leicht selbst berechnen bzw. überlegen - aber sie sind auch im wikipedia-Artikel angegeben.
LG Angela
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