Zerlegung invariant Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Di 14.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....ein Beispiel aus der heutigen Vorlesung was nicht ganz klar war.....
Sei A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 }
[/mm]
Dann ist das charakteristische Polynom = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] + 5x -3 =
[mm] (x-1)*(x^{2} [/mm] - 2x + 3) = [mm] m_{A}
[/mm]
Woher weiß ich dass [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 3 irrdezibel ist?....Vielleicht deshalb weil Polynome von der Form [mm] a*x^{2} [/mm] - b*x + c immer durch (x +- d)*(x +- s) angeschrieben werden können und somit irredzibel von vornherein sind?
Dann haben wir die Matrix in irreduzible Unterräume aufgeteilt.....
[mm] U_{1}.....Nullraum [/mm] von (A - E)
A - E = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 }
[/mm]
Wenn ich dass jetzt in ein lineares GLS setze kommt heraus:
x = y
-3x = y
Wie kommt man dann auf den Nullraum:
[mm] U_{1} [/mm] = { [mm] \pmat{ 0 & 0 & z}| [/mm] z in R}?
Und eine Frage noch:
Wie sehe ich an der Matrix dass sie Blockdiagonalform hat?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & 0 }
[/mm]
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 14.06.2005 | | Autor: | NECO |
> Hallo....ein Beispiel aus der heutigen Vorlesung was nicht
> ganz klar war.....
> Sei A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Dann ist das charakteristische Polynom = [mm]x^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] +
> 5x -3 =
> [mm](x-1)*(x^{2}[/mm] - 2x + 3) = [mm]m_{A}[/mm]
> Woher weiß ich dass [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 3 irrdezibel ist.
Weil dein Polynom keine reele Nullstellen mehr hat.
Mann kann ja diese Polynom als Produkt zwei anderenmit niedrigen Grad nicht darstellen. Aber wen du eine Nullstelle hättest dann könnte es gehen.
> ....Vielleicht deshalb weil Polynome von der Form
> [mm]a*x^{2}[/mm] - b*x + c immer durch (x +- d)*(x +- s)
> angeschrieben werden können und somit irredzibel von
> vornherein sind?
> Dann haben wir die Matrix in irreduzible Unterräume
> aufgeteilt.....
> [mm]U_{1}.....Nullraum[/mm] von (A - E)
> A - E = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 }[/mm]
>
> Wenn ich dass jetzt in ein lineares GLS setze kommt
> heraus:
> x = y
> -3x = y
> Wie kommt man dann auf den Nullraum:
Nullraum ist dann der Kern. um den Kern zu finden muss du eine homogene gleichungssystem lösen. Du bringst dein Matrix in Zeilenstufen form. Ich habe es für dich gemacht.
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
also wie man sieht kann ich eine parameter frei wöhlen. setze [mm] x_{3}=a
[/mm]
Ja wenn man dann das in andere gleichungen einsetz kommt dann raus dass [mm] x_{1}=x_{2}=0 [/mm] sein muss. also Nullraum sieht dann so aus.
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ a} [/mm] so habt ihr auch.
schöne Grüße
NECO
> [mm]U_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\pmat{ 0 & 0 & z}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
z in R}?
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> Und eine Frage noch:
> Wie sehe ich an der Matrix dass sie Blockdiagonalform
> hat?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & 0 }[/mm]
>
> mfg,
> Hannes
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