Zerlegung von Matrizen < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
kurze Frage, die Cholesky-Zerlegung von Matrizen ist eindeutig.
Bei der PLU-Zerlegung hab ich den Satz:
Jede Matrix A [mm] \in C^{N,N} [/mm] lässt sich in der Form A = PLU mit eienr Permutationsmatrix P, einer oberen Dreiecksmatrix U und einer unteren Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen schreiben.
Ist diese Zerlegung nun auch eindeutig?
Dem Algorithmus nach wählt man die Multiplikatoren ja als
[mm] m_{i,k} [/mm] := [mm] \frac{a_{ik}}{a_{kk}} [/mm] im k.ten Schritt.
D.h. eigentlich sind die Multiplikatoren ja eindeutig, wie sieht es aber aus wenn man Zeilenvertauschungen vornimmt?
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley,
Die Zerlegung ist für die meisten Matrizen nicht eindeutig. Wie Du schon festgestellt hast sind verschiedene Zeilenvertauschungen möglich.
Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 06.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Mathemaduenn,
danke für deine Antwort! Noch eine Frage: Wenn man am Anfang Zeilen vertauscht und irgendwo zwischendrin nochmal (z.B. wegen Spaltenpivotisierung) - wie kann man dann die Permutationsmatrix P finden ?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 06.04.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo Riley,
jede dieser Spaltenvertauschungen führt zu einer Permutationsmatrix.
D.h. im ersten Schritt des Algorithmus erhält man eine Matrizengleichung der Form: [mm] A=P_1L_1U_1
[/mm]
Im zweiten Schritt wird die Matrix [mm] L_1U_1 [/mm] weiter vereinfacht, d.h. man erhält eine Gleichung der Form: [mm] A=P_1P_2L_2U_2 [/mm] usw. bis schließlich
A=PLU dasteht (die einzelnen Permutationsmatrizen kann man zur Matrix P zusammenfassen). Wenn man bei den Spaltenvertauschungen nach festen Regeln, z.B. Spaltenpivotsuche vorgeht, wobei, falls diese nicht eindeutig ist, das betragsmaximale Element einer Spalte mit dem kleinsten Zeilenindex genommen wird, ist die Zerlegung sogar eindeutig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 So 06.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Zahllos,
okay danke! D.h. man kann die Matrizen einfach multiplizieren. Das einzige was mir noch aufgefallen ist, muss man nicht immer die Inversen der P-Matrix nehmen, also indem Fall die transponierten, weil sie ja orthogonal sind... ?! *überleg* hm... ich muss das nochmal an einem Bsp durchrechnen.
Viele Grüße,
Riley
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