Ziehungen mit/ohne Zurücklegen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:20 So 21.08.2005 | | Autor: | koltes |
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der Wahrscheinlichkeit, mit der bestimmte Elemente der Ausgangsmenge in einer Ziehung auftreten:
Definiere die Menge $N := [0,n[ [mm] \cap \IN$ [/mm] sowie eine Teilmenge $M [mm] \subseteq [/mm] N$ mit $|M| = k [mm] \leq [/mm] n$.
Die Menge $M$ entsteht aus der Menge $N$ durch die Ziehung von $k$ Elementen mit Zurücklegen, aber ohne Duplikate. Damit meine ich, dass jede Ziehung solange wiederholt wird, bis ein Element gezogen wurde, dass davor noch nicht gezogen wurde (intuitiv würde ich das einer Ziehung ohne Zurücklegen gleichsetzen, aber da ich in Sachen Stochastik nicht so sehr bewandert bin, beschreibe ich es lieber so).
[mm] $\leq$ [/mm] bildet bezüglich beider Mengen eine Totalordnung bezüglich der sich die Mengenelemente in eindeutiger Form anordnen lassen. Die endliche Folge [mm] $A_i$ [/mm] sei nun die Menge $N$ fixiert bezüglich [mm] $\leq$ [/mm] und die endliche Folge [mm] $B_j$ [/mm] sei die Menge $M$ fixiert bezüglich [mm] $\leq$.
[/mm]
Damit gilt für [mm] $A_i$, [/mm] dass [mm] $a_i [/mm] = i$ und für [mm] $B_j$, [/mm] dass $j [mm] \leq b_j \leq [/mm] n-1-(k-1-j)$.
Betrachte nun ein beliebiges Folgenglied [mm] $b_j$. [/mm] Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten [mm] $P_{j,\alpha}$, [/mm] dass [mm] $b_{j+1} [/mm] = [mm] b_j+\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha \in \{1,\dots,n-1-b_j\}$, [/mm] wenn bei der Ziehung die Wahrscheinlich gezogen zu werden für alle Elemente von $N$ gleich ist? Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten [mm] $P_{j,\alpha}$, [/mm] wenn die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, für die Elemente der Teilmenge [mm] $N_h [/mm] := [0,h[ [mm] \cap \IN$ [/mm] mit $0 < h < n$ um einen konstanten Summanden $c$ größer ist, als für die restlichen Elemente von $N$?
Viele Grüße
Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 11.09.2005 | | Autor: | jbulling |
Hallo Andreas,
ich hatte leider auch noch keine WT im Studium, aber da das nächstes Semester kommt interessiert mich Deine Frage stark.
Das Ziehungsverfahren, das Du da genannt hast entspricht dem Ziehen ohne Zurücklegen. Letztendlich zählt ja nur, aus welcher Menge das letztendlich gezogene Element stammt. Die Wiederholung der Ziehung hat auf die Menge und die Wahrscheinlichkeit mit der einzelne Elemente daraus gezogen werden keinen Einfluss.
Das Ereignis für das Du die Wahrscheinlichkeit suchst ist so wie ich das verstehe also, dass für zwei aufeinander Folgende Elemente gilt, dass das erste eine kleinere Nummer hat als das zweite.
Hier mal eine Idee ohne Gewähr für die Richtigkeit:
Wenn in der Menge n Elemente enthalten sind (vereinfacht) und daraus k Elemente gezogen wurden, dann gibt es j=n-k verbleibende Elemente.
Daraus kann man [mm] \sum_{i=1}^{j-1} {i*(j-i)}[/mm] Elementepaare ziehen, für die die Bedingung zutrifft. Es gibt insgesamt [mm]j*(j-1)=j^2-j[/mm] mögliche Paare, die gezogen werden können.
Stimmt das so weit?
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 So 11.09.2005 | | Autor: | jbulling |
Quark!
Bei der Anzahl der Paare, für die die Bedingung stimmt habe ich mich vertan.
Richtig sein müsste die Anzhal:
[mm]\sum_{i=1}{j-1} j-i = \sum_{i=1}{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit wäre demnach im ersten genannten Fall
[mm]\frac{\frac{(j-1)j}{2}}{j*(j-1)}=\frac{1}{2}[/mm]
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Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal wieder mehr Glück! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
