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| Aufgabe | | Ab dem 01.01.06 überweist Herr Schmidt an jedem Jahresanfang 25.000,- auf ein mit 7% p.a. verzinstes Konto. Wann kann er die Einzahlungen frühestens stoppen, wenn er am 01.01.2026 einen Kontostand von mindestens 400.000,- realisieren will? |
Kann mir hier jemand bei der Aufgabe helfen!?Wäre klasse!
Gruß Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 26.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
der Diskontierungsfaktor ist [mm] v=\bruch{1}{1+0,07}=\bruch{1}{1,07}.
[/mm]
Der Barwert der geforderten 400.000 im Jahre 2026 ist somit [mm] 400.000*v^{20}, [/mm] vom 01.01.2006 als Einzahlungsbeginn ausgehend.
Der Barwert der Einzahlungen 25.000 ist abhängig von der Anzahl der Einzahlungen n. Es handelt sich um vorschüssige Einzahlungen, sodass sich für den Barwert der Einzahlungen
[mm] 25.000*\summe_{k=0}^{n-1}v^k [/mm] ergibt.
Und jetzt soll n so gewählt werden, dass
[mm] 400.000*v^{20}\ge{25.000*\summe_{k=0}^{n-1}v^k} [/mm] gilt.
MfG barsch
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Jetzt hab ich noch eine Frage, wie ich die Gleichung auflösen kann...die Formel ist dann doch ein bißchen zu hoch für mich
Gruß Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Di 27.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dansun!
Wende zunächst auf der rechten Seite die Formel für die ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihe an.
Gruß
Loddar
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oh man, ich bin froh wenn ich kein mathe mehr hab;)
ich weiß beim besten willen leider nicht wie ich die gleichung auflösen kann...kann mir da eventuell jmd behilflich sein...danke schon mal im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 27.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> oh man, ich bin froh wenn ich kein mathe mehr hab;)
Mathe ist doch schön (Jetzt bin ich neugierig: Was studierst du denn? Hast du Mathe im Nebenfach? Das kann man deinen Angaben leider nicht entnehmen.)
> ich weiß beim besten willen leider nicht wie ich die
> gleichung auflösen kann...kann mir da eventuell jmd
> behilflich sein...danke schon mal im voraus
Jetzt habe ich den Zettel - ich hatte es selbst einmal durchgerechnet - leider schon weggeworfen und darf es jetzt noch mal machen ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Naja, wat mutt, dat mutt:
$ [mm] 400.000\cdot{}v^{20}\ge{25.000\cdot{}\summe_{k=0}^{n-1}v^k} [/mm] $
Und da kam doch schon die Steilvorlage von Loddar: Geometrische Reihe (bachte [mm] \red{\text{v<1}}).
[/mm]
Nehmen wir also die rechte Seite:
[mm] 25.000\cdot{}\summe_{k=0}^{n-1}v^k=25000\bruch{1-v^{(n-1)+1}}{1-v}=25000\bruch{1-v^{n}}{1-v}, [/mm] also:
[mm] 400.000\cdot{}v^{20}\ge{25000\bruch{1-v^{n}}{1-v}}
[/mm]
Naja, jetzt ein wenig umstellen (und für v den anfangs berechneten Wert einsetzen!)
[mm] 400.000\cdot{}v^{20}*(1-v)\ge{25000*(1-v^{n})}
[/mm]
[mm] \bruch{400.000\cdot{}v^{20}*(1-v)}{25000}\ge{1-v^{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{400.000\cdot{}v^{20}*(1-v)}{25000}-1\ge{-v^{n}}
[/mm]
Jetzt müssten auf beiden Seiten negative Werte stehen, also [mm] \cdot{(-1)}.
[/mm]
Den Ln auf beide Seiten draufhauen, ein letztes mal durch v teilen, immer auf die [mm] \ge-Relation [/mm] achten und dann sollte [mm] n\ge{4,...} [/mm] rauskommen (sofern ich mich recht entsinne), sodass du sagen kannst [mm] n\ge{5}.
[/mm]
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo Daniel,
> Ab dem 01.01.06 überweist Herr Schmidt an jedem
> Jahresanfang 25.000,- auf ein mit 7% p.a. verzinstes
> Konto. Wann kann er die Einzahlungen frühestens stoppen,
> wenn er am 01.01.2026 einen Kontostand von mindestens
> 400.000,- realisieren will?
Der Ansatz lautet:
[mm] 25.000*\bruch{1,07^n -1}{0,07}*\bruch{1}{1,07^n} [/mm] = [mm] \bruch{400.000}{1,07^{21}}
[/mm]
Die Einzahlungen können frühestens nach 4,661 Jahren gestoppt werden.
Viele Grüße
Josef
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