Zinseszinsrechng stetige Verzi < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 So 21.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Der jährliche Zinssatz, mit dem ein Anfangskapital [mm] K_0 [/mm] bei jährlicher Zinszahlung verzinst wird, beträgt 10%, so dass man mit Zinseszinsen nach t Jahren das Kapital [mm] K_t [/mm] erhält.
Bei welchem jährlichen Zinssatz (in Prozent) würde man bei stetiger Verzinsung beim selben Anfangskapital [mm] K_0 [/mm] nach t Jahren dasselbe Endkapital [mm] K_t [/mm] erhalten? |
Moin Moin,
über den reinen Lösungsweg hinaus, wäre ich für ein paar Anmerkungen zur einfachsten Vorgehensweise dankbar.
Zunächst würde ich eine geometrische Reihe erkennen... und die Formel [mm] K_t [/mm] = [mm] K_0*q^t [/mm] ist mir auch bekannt.
und q ist hier mit 10%, d.h. q=0,1, vorgegeben.
bzw.
[mm] s_n [/mm] = [mm] a_0*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
[mm] K_t [/mm] = [mm] K_0*\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1}
[/mm]
richtig?
Die Formel für die stetige Verzinsung lautet...
Anmerkungen
Die stetige Verzinsung [mm] K_t [/mm] = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} [K_0+(1+\bruch{i}{m})^{m*n}] [/mm]
bzw. [mm] K_t [/mm] = [mm] K_0*e^{t*i}
[/mm]
richtig?
Ich würde nun die Terme gleichsetzen...
[mm] K_t [/mm] = [mm] K_t [/mm]
[mm] K_0*\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1} [/mm] = [mm] K_0*e^{t*i}
[/mm]
[mm] \bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1} [/mm] = [mm] e^{t*i} [/mm] | ln
Da ich i bestimmen möchte, müsste ich jetzt logarithmieren, richtig? oder gibt es vielleicht einen einfacheren Weg?
ln [mm] (\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1}) [/mm] = t*i
i = [mm] \bruch{ln(\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1})}{t}
[/mm]
Leider komme ich hier auf keinen konkreten Wert, oder???
Danke für eure Hilfe!
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Hiho,
du würfelst Formeln durcheinander:
> Zunächst würde ich eine geometrische Reihe erkennen...
Wo auch immer du die erkennen willst... Du brauchst sie hier nicht.
> und die Formel [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*q^t[/mm] ist mir auch bekannt.
Das ist schön, hat aber leider nichts mit Zinsrechnung zu tun sondern höchstens mit Abschreibungen.
> und q ist hier mit 10%, d.h. q=0,1, vorgegeben.
Wenn q das sein soll so lautet die korrekte Formel: [mm]K_t=K_0*(1+q)^t[/mm] andernfalls würde dein Kapital ja kleiner werden mit der Zeit.... doofe Geldanlage.
> [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0*\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
>
> [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1}[/mm]
Was immer das sein soll: wir nennen es mal sinnlos und ignorieren das im weiteren Verlauf.
> Die Formel für die stetige Verzinsung lautet...
>
> [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich würde nun die Terme gleichsetzen...
Und nun rechne noch mal, mit den beiden richtigen Formeln diesmal.
Erinnere dich an die Logarithmus-Gesetze und verwende [mm] $\ln(1,1) \approx [/mm] 0,953$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:10 So 21.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
> Hiho,
>
> du würfelst Formeln durcheinander:
Das stimmt, upps. Mit [mm] K_n [/mm] = [mm] K_0*q^n [/mm] war gemeint, dass q = 1 + p ist... was aber für die Folgenbetrachtung zu Verwirrungen führt...
> > Zunächst würde ich eine geometrische Reihe erkennen...
> Wo auch immer du die erkennen willst... Du brauchst sie
> hier nicht.
>
> > und die Formel [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*q^t[/mm] ist mir auch bekannt.
> Das ist schön, hat aber leider nichts mit Zinsrechnung zu
> tun sondern höchstens mit Abschreibungen.
Stimmt nicht, wenn q=1+p gilt, s.o. Dennoch wähle ich im folgenden deinen Ansatz bzw. für q die Zahl, die ich sonst p nennen würde...
>
> > und q ist hier mit 10%, d.h. q=0,1, vorgegeben.
> Wenn q das sein soll so lautet die korrekte Formel:
> [mm]K_t=K_0*(1+q)^t[/mm] andernfalls würde dein Kapital ja kleiner
> werden mit der Zeit.... doofe Geldanlage.
> $ [mm] s_n [/mm] $ = $ [mm] a_0\cdot{}\bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] $
>
> $ [mm] K_t [/mm] $ = $ [mm] K_0\cdot{}\bruch{0,1^{t+1}-1}{0,1-1} [/mm] $
> Was immer das sein soll: wir nennen es mal sinnlos und ignorieren das im weiteren Verlauf.
Naja, die Idee war, die Summe dieser geometrischen Folge zu formulieren... OK, ignorieren wir...
***
Also, fangen wir an...
[mm] K_t [/mm] = [mm] K_o*(1+q)^t [/mm]
> > Die Formel für die stetige Verzinsung lautet...
> > [mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm]
[mm] K_t [/mm] = [mm] K_t
[/mm]
[mm] K_0*(1+q)^t [/mm] = [mm] K_0*e^{t*i} [/mm] | : [mm] K_0
[/mm]
[mm] (1+q)^t [/mm] = [mm] e^{t*i} [/mm] | ln
[mm] ln(1,1^t) [/mm] = [mm] ln(e^{t*i})
[/mm]
t*ln(1,1) = t*i
i = ln(1,1) [mm] \approx [/mm] 0,0953
i [mm] \approx [/mm] 9,53 %
richtig?
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Hiho,
> Stimmt nicht, wenn q=1+p gilt, s.o. Dennoch wähle ich im
> folgenden deinen Ansatz bzw. für q die Zahl, die ich sonst
> p nennen würde...
ich eigentlich auch, hab mich da nur deiner Schreibweise angepasst 
> i [mm]\approx[/mm] 9,53 %
> richtig?
Gruss,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mo 22.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
Anmerkung
Eben bin ich drauf gekommen, dass ich nicht q sondern p=10% gegeben habe!! Das macht die Sache für mich deutlich runder. ^^
Es gilt für die Zinseszinsrechnung
[mm] K_n [/mm] = [mm]K_0*q^n[/mm] mit q = 1+p
bzw.
[mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*q^t[/mm]
[mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*(1+0,1)^t[/mm]
[mm] K_t [/mm] = [mm] K_0*1,1^t [/mm]
Es gilt für die stetige Verzinsung
[mm]K_t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm]
Ansatz
[mm]K_t[/mm] = [mm]K_t[/mm]
[mm]K_0*1,1^t[/mm] = [mm]K_0*e^{t*i}[/mm] | : [mm]K_0[/mm]
[mm](1,1)^t[/mm] = [mm]e^{t*i}[/mm] | ln
[mm]ln(1,1^t)[/mm] = [mm]ln(e^{t*i})[/mm]
t*ln(1,1) = t*i
i = ln(1,1) [mm]\approx[/mm] 0,0953
i [mm]\approx[/mm] 9,53 %
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