Zinsrechnung < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mi 30.03.2005 | | Autor: | rita |
hallo,
von einem Betrag X der mit Y% verzinst wird möchte ich monatlich einen Betrag Z abheben. Wieviele Monate kann ich dies tun.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Such Formel hierzu
Danke
Rita
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo rita,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> von einem Betrag X der mit Y% verzinst wird möchte ich
> monatlich einen Betrag Z abheben. Wieviele Monate kann ich
> dies tun.
Der Trick ist, dass man sich erst einmal die Situation verdeutlicht. Nennen wir $X_n$ den Geldbetrag, der im $n$-ten Monat auf dem Konto ist.
Ich schreibe mal auf, wie sich das Guthaben auf dem Konto entwickeln würde in den ersten Monaten:
$X_0=X$
$X_1=X_0 \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)- Z = X \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)- Z $
$X_2=X_1 \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)- Z = X \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)^2- Z\cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)-Z $
$X_3=X_2 \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)- Z = X \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)^3- Z\cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)^2-Z\cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)-Z $
Wenn man sich die Terme ansieht (und noch weitere berechnet) fällt einem schenll das Bildungsmuster auf, nachdem man $X_n$ berechnen kann:
$X_n= X\cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)^n - Z \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)^{n-1}- Z \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)^{n-2} - \cdots -Z\cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right) -Z$
$X_n= X \cdot \left(1+\frac{Y}{100}\right)^n - Z \cdot \left[ \left(1+\frac{Y}{100}\right)^{n-1}+ \left(1+\frac{Y}{100}\right)^{n-2} + \cdots + \left(1+\frac{Y}{100}\right) +1\right]$
Häufig setzt man sowas wie $q=1+\frac{Y}{100}$ um das ganze leichter darstellen zu können. Eine solche fortlaufende Summation von $q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q^2+q+1$ nennt man Geometrische Reihe. Durch ausmultiplizieren kann man (für $q\neq 1$) zeigen, dass
$\left[q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q^2+q+1]\cdot (q-1)=q^n-1 \gdw \left[q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q^2+q+1\right]=\frac{q^n-1}{q-1}$ gilt.
Damit kann man die Formel für $X_n$ weiter vereinfachen.
$X_n=X\cdot q^n - Z \frac{q^n-1}{q-1}$
Es ist natürlich klar, dass man für immer von dem Geld leben könnte, wenn man genau so viel oder weniger pro Monat entnimmt, wie man Zinsen bekommt, d.h. wenn $Z<\frac{Y}{100}X$. Nimmt man mehr wird irgendwan das Kapital aufgebraucht werden, gesucht ist also der Monat $n$ in dem $X_n=0$ gilt.
$X_n=0 \gdw 0=X\cdot q^n - Z \frac{q^n-1}{q-1} \gdw Z \frac{q^n-1}{q-1}=X\cdot q^n \gdw Z\cdot (q^n-1)=X (q-1)q^n \gdw Zq^n-Z=X(q-1)q^n \gdw -Z=\left(X(q-1)-Z\right)q^n \gdw \frac{-Z}{X(q-1)-Z}=q^n \gdw n=\log_q\left(\frac{-Z}{X(q-1)-Z}\right)$
Wenn man jetzt $X$, $Y$ (und damit auch $q$) und $Z$ kennt kann man ausrechnen, wie lange das Geld reicht. Man kann aber auch bestimmen, wie viel man entnehmen darf, wenn man eine bestimmte Zeit, sagen wir 240 Monate von dem Geld leben will. Dann muss man nur nach $Z$ statt nach $n$ auflösen.
Gruß Brackhaus
|
|
|
|
