Zirkulation läng des Randes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mo 17.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Vektorfelder u und v:
u : R2 → R2 : (x, y) → (2xy, 2xy)
v : R2 → R2 : (x, y) → [mm] (x^2 [/mm] − [mm] y^2 [/mm] , 15 − x2 )
T := {(x, y) ∈ R2 | y ≤ (x − [mm] 1)^2 [/mm] , y ≤ (x + [mm] 1)^2 [/mm] , y ≥ [mm] x^2 [/mm] − 3}
a) Skizzieren sie T und geben Sie eine positiv orientierte geglättete Parametrisierung des |
So gezeichnet hab ich T und auch überprüft.
Die Zirkulation kann ich ja später mit der Formel von z.B Green (Rotation) oder wenn ich die Parametrisierung habe mit Teilabschnitten [mm] \integral [/mm] U(C(t)) * C'(t) berechnen.
Mein Problem ist nun aber wie ich die Parametrisierung aufstelle?
Zunächst habe ich mal die Schnittpunkte berechnet:
P1( x= -2, y=1) P2(x=0, y=1), P3(x=2, y=1)
Viele Dank
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Vektorfelder u und v:
> u : R2 → R2 : (x, y) → (2xy, 2xy)
>
> v : R2 → R2 : (x, y) → [mm](x^2[/mm] − [mm]y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, 15 − x2 )
> T := {(x, y) ∈ R2 | y ≤ (x − [mm]1)^2[/mm] , y ≤ (x + [mm]1)^2[/mm]
> , y ≥ [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
− 3}
>
> a) Skizzieren sie T und geben Sie eine positiv orientierte
> geglättete Parametrisierung des
> So gezeichnet hab ich T und auch überprüft.
>
> Die Zirkulation kann ich ja später mit der Formel von z.B
> Green (Rotation) oder wenn ich die Parametrisierung habe
> mit Teilabschnitten [mm]\integral[/mm] U(C(t)) * C'(t) berechnen.
>
> Mein Problem ist nun aber wie ich die Parametrisierung
> aufstelle?
Schreibe Dir die Teilkurven auf, für welche Bereiche sie definiert sind.
Dann kannst Du einen Parameterbereich wählen,
z.B. [mm] 0\le t \le 3[/mm], weil 3 Teilkurven.
>
> Zunächst habe ich mal die Schnittpunkte berechnet:
>
> P1( x= -2, y=1) P2(x=0, y=1), P3(x=2, y=1)
>
> Viele Dank
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 22.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Hmm..
Kann ich dann z.B. als einen Teilabschnitt aufstellen
[mm] C_1 [/mm] (t) = [mm] \vektor{ 1 \\ t^2 -3} [/mm] oder so um die Parabel von den Schnittpunkten aus bis zu ihrem Ursprung zu beschreiben?
Dann könne man ja die anderen beiden Parabeln abziehen von [mm] C_1(t) [/mm] und man hätte das Gebiet?
Vllt [mm] C_2(t) [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ t^2}
[/mm]
Da man sich auf der X-Achse ja nur auf einer Linie bewegt und auf der Y-Achse auf einer Parabel?
Is das vom Gedanken her richtig?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21.
> Hmm..
>
> Kann ich dann z.B. als einen Teilabschnitt aufstellen
>
> [mm]C_1[/mm] (t) = [mm]\vektor{ 1 \\ t^2 -3}[/mm] oder so um die Parabel von
> den Schnittpunkten aus bis zu ihrem Ursprung zu
> beschreiben?
So bekommst Du eine Gerade an der Stelle x=1.
Du willst aber die Parabel [mm]x^{2}-3[/mm] haben.
Daher muss [mm]C_{1}\left(t\right)[/mm] lauten:
[mm]C_1[/mm] (t) = [mm]\vektor{ \blue{t} \\ t^2 -3}[/mm]
Der Parameterbereich berechnet sich aus denm x-Wert der Schnittpunkte
der Schnittpunkte mit den anderen beiden Kurven.
>
> Dann könne man ja die anderen beiden Parabeln abziehen von
> [mm]C_1(t)[/mm] und man hätte das Gebiet?
>
> Vllt [mm]C_2(t)[/mm] = [mm]\vektor{ 1 \\ t^2}[/mm]
Nein, die Kurven sind fest vorgegeben.
Mach Dir dazu eine Sktzze.
>
> Da man sich auf der X-Achse ja nur auf einer Linie bewegt
> und auf der Y-Achse auf einer Parabel?
>
>
> Is das vom Gedanken her richtig?
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Sa 22.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ja ich hats schon gezeichnet:
Ok:
[mm] C_1(t) [/mm] = [mm] \vektor{t \\ t^2 -3}
[/mm]
Nun will ich dir Kurve mit den Schnittpunkten P1(-2,1) und P2(0,1) -> Parabel mit dem Ursprung x=-1 und y=0.
Wie kann ich nun sagen, dass der von -2 bis 0 auf der X-Achse und in Y-Richtung mit der Kurve [mm] (t+1)^2 [/mm] verlaufen soll?
[mm] C_2(t) [/mm] = [mm] \vektor{t \\ (t+1)^2}?? [/mm]
Danke sehr!
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Ja ich hats schon gezeichnet:
>
> Ok:
>
> [mm]C_1(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ t^2 -3}[/mm]
>
> Nun will ich dir Kurve mit den Schnittpunkten P1(-2,1) und
> P2(0,1) -> Parabel mit dem Ursprung x=-1 und y=0.
>
> Wie kann ich nun sagen, dass der von -2 bis 0 auf der
> X-Achse und in Y-Richtung mit der Kurve [mm](t+1)^2[/mm] verlaufen
> soll?
>
> [mm]C_2(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ (t+1)^2}??[/mm]
Genau so.
>
> Danke sehr!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 23.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok gut, dann kann ich ja nun den erstem Teilabschnitt mal berechnen:
[mm] \integral_{a}^{b} U(C_1(t)) [/mm] * C'(t) = [mm] \integral_{a}^{b} \vektor{t^2 - t^4 + 6t^2 + 9 \\ 15 - t^2} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2t }
[/mm]
Sind hier nun meine Grenzen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt? Also z.B. hier von -2 bis 2?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Ok gut, dann kann ich ja nun den erstem Teilabschnitt mal
> berechnen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} U(C_1(t))[/mm] * C'(t) = [mm]\integral_{a}^{b} \vektor{t^2 - t^4 + 6t^2 + 9 \\ 15 - t^2}[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 2t }[/mm]
>
> Sind hier nun meine Grenzen von Schnittpunkt zu
> Schnittpunkt? Also z.B. hier von -2 bis 2?
Ja.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 24.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok dann hab ich integriert und die Grenzen eingesetzt:
= (-1/5)* [mm] t^5 [/mm] - (1/2) * [mm] t^4 [/mm] + 7/3 [mm] t^3 [/mm] + 15t² + 9t
= -(1/5) * 32 - (1/2) *16 + (7/3) * 8 + 15 * 4 + 18 - ((1/5) * 32 - (1/2) *16 - (7/3) * 8 + 15 * 4 - 18)
= [mm] \bruch{-64}{5} [/mm] + [mm] \bruch{112}{3} [/mm] + 36 = 60,53
Nun ebenso die anderen 2 Teilabschnitte noch berechnen.
Dann müsste ich doch am Ende die 2 kleinen Teilabschnitte vom 1.Teilabschnitt abziehen und auf die Fläche zu kommen.
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Ok dann hab ich integriert und die Grenzen eingesetzt:
>
> = (-1/5)* [mm]t^5[/mm] - (1/2) * [mm]t^4[/mm] + 7/3 [mm]t^3[/mm] + 15t² + 9t
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]=-\bruch{1}{5}t^{5}-\bruch{1}{2}t^{4}+\bruch{7}{3}t^{3}+15*t^{2}\blue{-}9*t\red{-\bruch{225}{2}}[/mm]
>
> = -(1/5) * 32 - (1/2) *16 + (7/3) * 8 + 15 * 4 + 18 -
> ((1/5) * 32 - (1/2) *16 - (7/3) * 8 + 15 * 4 - 18)
>
> = [mm]\bruch{-64}{5}[/mm] + [mm]\bruch{112}{3}[/mm] + 36 = 60,53
>
> Nun ebenso die anderen 2 Teilabschnitte noch berechnen.
>
> Dann müsste ich doch am Ende die 2 kleinen Teilabschnitte
> vom 1.Teilabschnitt abziehen und auf die Fläche zu
> kommen.
Ja.
>
> Vielen Dank
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 24.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah wie komme ich noch auf den letzten Wert? Ist dass die Integrationskonstante? Und wenn ja, wie errechne ich sie hier?
Vielen Dank nochmal
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Ah wie komme ich noch auf den letzten Wert? Ist dass die
Da war ich wohl etwas zu schnell.
Es gibt nach der Integration nämlich keine Konstante.
> Integrationskonstante? Und wenn ja, wie errechne ich sie
> hier?
>
> Vielen Dank nochmal
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:08 Mi 26.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok dann war meine Berechnung für den 1.Teilbereich korrekt?
Dann habe ich das Vorgehen für diese Aufgabe.
Nun hätte ich aber noch eine Frage:
Ich kann die Aufgabe doch auch über die Rotation berechnen (Satz von Green)
[mm] \integral \integral [/mm] Rot u dx dy
korrekt?
Wie muss ich dann hier die Grenzen setzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 28.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 27.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ich habe das nun auch mal mit dem Satz von Green zu berechnen versucht:
rot(u) = rot(v) = (2y - 2x)
Nun habe ich mir überlegt wie ich die Grenzen am Besten setze.
[mm] \integral_{-2}^{2} \integral_{x^2-3}^{1} [/mm] (2y-2x) dy dx - 2 [mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{x^2}(2y-2x) [/mm] dy dx
Vielen Dank fürs drüber schauen!!
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Ich habe das nun auch mal mit dem Satz von Green zu
> berechnen versucht:
>
> rot(u) = rot(v) = (2y - 2x)
>
> Nun habe ich mir überlegt wie ich die Grenzen am Besten
> setze.
>
>
> [mm]\integral_{-2}^{2} \integral_{x^2-3}^{1}[/mm] (2y-2x) dy dx - 2
> [mm]\integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{x^2}(2y-2x)[/mm] dy dx
Die Grenzen sind nicht richtig.
Mach Dir dazu am besten eine Skizze des Integrationsgebietes.
>
> Vielen Dank fürs drüber schauen!!
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 27.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Alles klar..hat ich zwar schon aber ich bins nochmal durchgegangen.
Dabei kann man sehen, dass alle Parabeln sich in y=1 schneiden und in [mm] x_1 [/mm] = -2, [mm] x_2 [/mm] = 0 , [mm] x_3= [/mm] 2.
Der Bereich geht also Aufjedenfall schon mal von der Parabel [mm] x^2 [/mm] - 3 bis zu 0 auf der Y-Achse. Und dann jeweils die Flächen unter den Parabeln [mm] (x-1)^2 [/mm] und [mm] (x+1)^2. [/mm]
Außerdem schneidet die parabel [mm] x^2-3 [/mm] die X-Achse in [mm] \wurzel{3} [/mm] bzw. - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Sollte ich dann als Grenzen nehmen:
[mm] \integral_{-\wurzel{3}}^{\wurzel{3}} \integral_{x^2-3}^{0} [/mm] (2y-2x) dy dx + [mm] \integral_{-2}^{0} \integral_{0}^{(x+1)^2} [/mm] (2y-2x) dy dx + [mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{(x-1)^2} [/mm] (2y-2x) dy dx
Jedoch wäre dies meine Formel von vorher nur umgeschrieben, da ich nun die 3 Teile zusammengezählt habe und vorher 2 Flächen von der Großen Fläche abgezogen habe..
Vielen Dank nochmal ;)
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Alles klar..hat ich zwar schon aber ich bins nochmal
> durchgegangen.
>
> Dabei kann man sehen, dass alle Parabeln sich in y=1
> schneiden und in [mm]x_1[/mm] = -2, [mm]x_2[/mm] = 0 , [mm]x_3=[/mm] 2.
>
> Der Bereich geht also Aufjedenfall schon mal von der
> Parabel [mm]x^2[/mm] - 3 bis zu 0 auf der Y-Achse. Und dann jeweils
> die Flächen unter den Parabeln [mm](x-1)^2[/mm] und [mm](x+1)^2.[/mm]
>
> Außerdem schneidet die parabel [mm]x^2-3[/mm] die X-Achse in
> [mm]\wurzel{3}[/mm] bzw. - [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
>
> Sollte ich dann als Grenzen nehmen:
>
> [mm]\integral_{-\wurzel{3}}^{\wurzel{3}} \integral_{x^2-3}^{0}[/mm]
> (2y-2x) dy dx + [mm]\integral_{-2}^{0} \integral_{0}^{(x+1)^2}[/mm]
> (2y-2x) dy dx + [mm]\integral_{0}^{2} \integral_{0}^{(x-1)^2}[/mm]
> (2y-2x) dy dx
>
Das ist nicht ganz richtig,
Das muss doch so lauten:
[mm]\integral_{-2}^{0} \integral_{\blue{x^{2}-3}}^{(x+1)^2}
(2y-2x) dy dx + \integral_{0}^{2} \integral_{\blue{x^ {2}-3}}^{(x-1)^2}
(2y-2x) dy dx[/mm]
> Jedoch wäre dies meine Formel von vorher nur
> umgeschrieben, da ich nun die 3 Teile zusammengezählt habe
> und vorher 2 Flächen von der Großen Fläche abgezogen
> habe..
>
> Vielen Dank nochmal ;)
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mo 27.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ahja super, leuchtet mir ein diese Aufteilung!
Wieso waren die Grenzen zuvor falsch? Dort hab ich ja z.B. die Gesamtfläche in 3 Flächen aufgeteilt.
Zunächst die Parabel [mm] x^2 [/mm] - 3 bis 0(Y-Achse)
dann die Fläche unter der Parabel [mm] (x-1)^2
[/mm]
und die Fläche unter der Parabel [mm] (x+1)^2
[/mm]
Müsste ja im Endeffekt dasselbe sein oder?
Vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Ahja super, leuchtet mir ein diese Aufteilung!
>
> Wieso waren die Grenzen zuvor falsch? Dort hab ich ja z.B.
> die Gesamtfläche in 3 Flächen aufgeteilt.
Hier hast Du eine Differenz von Funktionen.
Dabei sind die Integrationsgrenzen die Schnittpunkte
von [mm]x^{2}-3[/mm] mit den Funktionen [mm]\left(x+1\right)^{2}[/mm] bzw. [mm]\left(x-1\right)^{2}[/mm] .
Und da die Funktion [mm]x^{2}-3[/mm] in diesem Bereich
unterhalb der Funktionen [mm]\left(x+1\right)^{2}[/mm] bzw. [mm]\left(x-1\right)^{2}[/mm] verläuft,
sind hier keine weiteren Aufteilungen vorzunehmen.
>
> Zunächst die Parabel [mm]x^2[/mm] - 3 bis 0(Y-Achse)
> dann die Fläche unter der Parabel [mm](x-1)^2[/mm]
> und die Fläche unter der Parabel [mm](x+1)^2[/mm]
>
> Müsste ja im Endeffekt dasselbe sein oder?
>
> Vielen Dank!!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Di 28.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Super, Danke mal wieder!
|
|
|
|
