Zufallexperiment Wetterstation < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | An einer Wetterstation wird für den heutigen Tag die gesamte Niederschlagsmenge in mm sowie für jeden Zeitpunkt die Lufttemperatur in Grad Celsius gemessen.
a) Geben Sie einen Grundraum [mm] \Omega [/mm] an, der sich für die Beschreibung dieses Zufallsexperimentes eignet.
b) Schreiben Sie das Ereignis A, dass die Durchschnittstemperatur des heutigen Tages mehr als 10° Celsius beträgt und insgesamt weniger als 4 mm Niederschlag fällt, als Teilmenge von [mm] \Omega. [/mm] |
Tag Leute,
also ich hab mir das wie folgt gedacht:
zu a) [mm] \Omega=\mathcal C([0,24],[0,\infty)\times (-\infty,\infty)), [/mm] d.h. der Raum aller stetigen Funktionen f: [mm] [0,24]\longrightarrow [0,\infty)\times (-\infty,\infty)
[/mm]
zu b) [mm] A:=\{f|f\in \Omega,\text{ wobei }f(24)=(x,y)\text{ mit }y<4\text{ und } \bruch{1}{24}*\integral_{0}^{24} f(t)dt=(x,y)\text{ mit }x>10\}
[/mm]
Ist das so in Ordnung? Oder wie könnte man obiges anders bzw. besser aufschreiben?
Hab vor allem bei der Notation in b) etwas Bauchweh.
Also ich bin offen für alle Verbesserungsvorschläge und Korrekturen.
Vielen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Wär klasse, wenn jemand zumindest den Grundraum aus a) bestätigen könnte. Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo kegel53,
was Du mit der 24 willst, weiss ich nicht so genau, aber ich vermute mal es soll sich auf die 24 Stunden des Tages beziehen. Die sind aber uninteressant, denn die Zufallsgrößen sind die Temperatur und die Niederschlagsmenge. Natürlich kannst Du dann einen Ereignisraum angeben, so wie Du es gemacht hast, aber es ist nicht gerade sinnvoll, eine Temeperatur von - Unendlich Grad Celsius mit einzubeziehen. Ich kann mir auch nichr vorstellen, dass man mit dieser Wetterstation die Temperatur des Weltalls bestimmen möchte, also irgendwas zwischen -50 Grad und 50 Grad halte ich für sinnvoller. Aber gut, das leigt an Deiner Modellbildung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey infinit,
vielen Dank für den Hinweis. Aber es war nicht ganz meine Idee die Temperatur von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] laufen zu lassen. Das wurde in einer ähnlichen Aufgabe in der Vorlesung ganz genau so von unserem Prof. gemacht und ich bin dann ebenso verfahren.
Aber gut das ist wohl ansichtssache. Viel mehr würd mich aber die Notation in Teilaufgabe b) interessieren. Kann ich das dann so schreiben?? Oder ist meine Schreibweise unzumutbar :)??
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo kegel,
das ist eine Gewöhnungssache, wie gesagt, Deine Beschreibungsmethode ist nicht verkehrt, aber sicher auch nicht gerade sehr praxisnah.
Mit der Beschreibung des Ereignisses A in der Teilaufgabe b) kann ich überhaupt nichts anfangen. Bei solch einer Ereignisbeschreibung hat doch noch keine Abbildung auf Zufallsvariablen stattgefunden, das scheint aber bei Dir bereits der Fall zu sein. Wo kommen diese 24 auf?
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey Infinit,
okay gut also nicht falsch, aber auch nicht unbedingt gut gelöst :). Könntest du mir dann vielleicht zeigen, wie hier ein praxisnaher Grundraum aussehen könnte?
Bei Teilaufgabe b) kann ich dir nich ganz folgen. Von Zufallsvariablen haben wir jedenfalls noch nichts in der Vorlesung gehört. Nochmal zum Verständnis. Ich wollte hier ja nur eine Teilmenge von [mm] \Omega [/mm] beschreiben, die mir die Angaben aus der Aufgabenstellung widergibt, d.h. die Durchschnittstemperatur und die Gesamtniederschlagsmenge. Dazu muss ich ja irgendwie angeben, dass um 24Uhr die Niederschlagsmenge kleiner als 4mm ist, was ich mit f(24)=(x,y) mit y<4 erreichen wollte. Dann muss ich noch die Durchschnittstemperatur, die größer als 10 °C sein soll, abdecken, was ich mit [mm] \bruch{1}{24}\cdot{}\integral_{0}^{24} f(t)dt=(x,y)\text{ mit }x>10 [/mm] erreichen wollte.
Kann ich das denn nicht so machen?? Oder wie schreib ich das auf, damit das Ganze mathematisch auch korrekt wird??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo kegel,
das Ganze ist eine reine Definitionssache. Nehme ich die Ergebnisse der Gesamtniederschlagsmenge pro Tag und der Durchschnittstemperatur und bezeichne diese mit x und y, so lässt sich beispielsweise folgendes schreiben:
$$ [mm] \Omega [/mm] := [mm] \left\{ (x,y) \in \IR^2: 0 \le x < 1000, -50 \le y < 80 \right\} [/mm] $$
Das Ereignis A kann man dann mit Hilfe der Ereignisse X1 und Y1 schreiben als
$$ A := X1 [mm] \wedge [/mm] Y1 $$
mit
$$ X1 := [mm] \left\{ x \in \IR : x < 4\right\} [/mm] $$
$$ Y1 := [mm] \left\{ y \in \IR: y > 10 \right\} [/mm] $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay, ja dann ers mal vielen Dank!!
Mir is aber nich ganz klar, wieso beim Ereignis Y1 einfach y>10 gefordert wird. Ich mein es könnten doch auch durchaus Temperaturen vorkommen, die kleiner als 10°C sind, und die Durchschnittstemperatur trotzdem noch größer als 10°C ist oder nicht??
Die andere Frage, die mich noch beschäftigt, ist die, ob die Teilaufgabe b) so wie ich sie gelöst hab nun falsch ist oder doch in Ordnung geht.
Herzlichen Dank nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Ja, Dein Einwand ist berechtigt, wenn man nur die aktuelle Temperatur zu einem bestimmten Messzeitpunkt berücksichtigt. Das hattest du wohl im Hinterkopf, sonst hättest Du nicht eine Mittelung in der Definition durchgeführt. Dabei gehst Du davon aus, dass es 24 Messungen am Tag gibt, das wissen wir jedoch nicht. Unter dieser Voraussetzung ist Deine Schreibweise durchaus okay. Ich habe es mir etwas einfacher gemacht und habe y als Durchschnittstemperatur definiert. Du siehst, es gibt bei solchen Aufgaben immer mehrere Wege zum Ziel.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ja da ist wohl was dran :). Jetzt muss ich aber doch nochmal nachhaken.
Also angenommen Teilaufageb b) wäre gar nicht bekannt, d.h. du hast nur die Aufgabe einen geeigneten Grundraum für das beschrieben Zufallsexperiment anzugeben. Da hierbei noch gar keine Rede von Durchschnittstemperatur ist, würde man auch nicht auf die Idee kommen das y so zu definieren, sondern die aktuelle Temperatur zu einem bestimmten Messzeitpunkt berücksichtigen.
Wie würde ich von einem solchen Grundraum ausgehend das Ereignis A schreiben?? Ich mein da muss ich dann ja irgendwo etwas mitteln um zur Durchschnittstemperatur zu kommen, ähnlich wie ich das vorhatte oder??
Mich würd halt interessieren wie A in diesem Fall aussieht. Dank dir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Ja, eine Mittelung irgendeiner Art wäre dann sicher sinnvoll, zum Beispiel so wie Du sie gemacht hast. Wenn Du natürlich weisst, dass zum Beispiel pro Tag alle 5 Minuten gemessen wird, so kommst Du mit einer Mittelung über 24 Werte sicher nicht weit bzw. der auftauchende Fehler dürfte recht groß sein. Das hängt aber von der Gestaltung des Zufallsexperimentes ab und über dies wissen wir so gut wie nichts, außer dass Temperaturen gemessen werden und in b) nach einer Durchschnittstemperatur gefragt wird.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay gut. Dann noch eine letzte Frage. Und zwar, wenn ich jetz den Grundraum in a) so wähle wie du vorgeschlagen hast. Ist dann dieser Grundraum nicht falsch, weil bis zur Teilaufgabe a) ja nur von einer Messung der Temperatur zu jedem Zeitpunkt die Rede ist und nicht von irgendeiner Durchschnittstemperatur. Oder ist das wirklich legitim zunäcchst auf b) zu schauen und dann den Gundraum gewissermaßen so zu modellieren damit es später passt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Exakt sollte für Teil a) nur die Temperatur als ein Ereignis erfasst werden. Wenn Du in meinem Vorschlag die "Durchschnittstemperatur" durch "Temperatur" ersetzt, stimmt es auf jeden Fall.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Wenn ich allerdings das so ersetze, dann bekomm ich in b) wieder das Problem der Durchschnittstemperatur und muss irgendwie mit einer Mittelung arbeiten. Aber naja wird sich dann wohl nich vermeiden lassen.
Okay gut , vielen Dank nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Durch unseren Thread haben wir diesen Teil nun auch abgedeckt.
VG, Infinit
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