Zufallsgröße mit endlichem EW < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Di 17.05.2011 | | Autor: | fract |
| Aufgabe | | Für eine [mm] \IN-wertige [/mm] Zufallsgröße X mit endlichem Erwartungswert E[X] gilt: $ E[X] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}P[X \ge [/mm] n]$ |
Wie zeigt man denn sowas? Bin für jeden Denkanstoss / Hinweis dankbar.
mfg fract
*Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Di 17.05.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
[mm] E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}n*P(X=n)
[/mm]
[mm] =\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{n}P(X=n)
[/mm]
[mm] =\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{n=i}^{\infty}P(X=n)
[/mm]
[mm] =\sum_{i=1}^{\infty}P(X\ge [/mm] i)
wobei 1 GZ: Definition des EW
2.GZ: n in Summe von Einsen umgeschrieben
3.GZ: Die Summe umsortiert, dafür den Großen Umordnungssatz angewendet.
Es darf umsortiert werden, da ja der Erwartungswert existiert (also absolute Konvergenz vorliegt)Am besten stellt man mal die Doppelsumme als Matrix dar. Dann sagt der große Umordnungssatz, dass man statt die Zeilensummen zu bilden und dann zu addieren, kann man genauso gut dasselbe mit den Spalten machen.
4.GZ: [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] ausgenutzt
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Di 17.05.2011 | | Autor: | fract |
> Hey,
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> [mm]E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}n*P(X=n)[/mm]
> [mm]=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{n}P(X=n)[/mm]
> [mm]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{n=i}^{\infty}P(X=n)[/mm]
> [mm]=\sum_{i=1}^{\infty}P(X\ge[/mm] i)
>
> wobei 1 GZ: Definition des EW
> 2.GZ: n in Summe von Einsen umgeschrieben
hallo, danke vielmals! auf die 2.umformung bin ich einfach nicht gekommen, manchmal sieht man sowas einfach nicht.. aber jetzt ist es klar. Danke
mfg fract
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Di 17.05.2011 | | Autor: | Fry |
Ja, das Problem kenn ich ;)
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