Zufallsvariable < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Bei dem viermaligen Wurf eines Würfels gebe X das Maximum und Y das Minimum der geworfenen Augenzahlen an.
(a) Geben Sie einen geegeigneten Wahrschk.raum für dieses Modell an und definieren Sie auf diesem die Zufallsvariablen X und Y.
(b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y mittels P(X=k) und P(Y=k) für k [mm] \in\{1...6\} [/mm] an.
(c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und skizzieren Sie diese.
(d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Menge [mm] \{X=5\}\cap\{Y=3\}. [/mm] |
Hallo,
ich versteh das noch nicht, was es mit der Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion auf sich hat...
(a) Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, [/mm] A, P) mit
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{(w_1,w_2,w_3,w_4): w_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \}, \A [/mm] = [mm] \P(A) [/mm] (Potenzmenge)
[mm] X((w_1,w_2,w_3,w_4)) [/mm] = max [mm] \{w_1,w_2,w_3,w_4\}
[/mm]
[mm] Y((w_1,w_2,w_3,w_4)) [/mm] = min [mm] \{w_1,w_2,w_3,w_4\}
[/mm]
(b) muss ich das über bedingte wahrscheinlichkeiten angeben? weil das max hängt ja immer von den anderen gewürfelten zahlen ab....??
(c) Die Verteilerfunktion ist ja so definiert:
[mm] F_X [/mm] : [mm] \R [/mm] -> [0,1], [mm] F_X(x):= [/mm] P(X [mm] \leq [/mm] x)
nur da brauch ich ja erst die wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, oder?
(d) ???
wär echt super wenn mir jemand weiterhelfen kann *verzweifel*
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi riley,
> Bei dem viermaligen Wurf eines Würfels gebe X das Maximum
> und Y das Minimum der geworfenen Augenzahlen an.
> (a) Geben Sie einen geegeigneten Wahrschk.raum für dieses
> Modell an und definieren Sie auf diesem die
> Zufallsvariablen X und Y.
> (b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und
> Y mittels P(X=k) und P(Y=k) für k [mm]\in\{1...6\}[/mm] an.
> (c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und
> skizzieren Sie diese.
> (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Menge
> [mm]\{X=5\}\cap\{Y=3\}.[/mm]
> Hallo,
> ich versteh das noch nicht, was es mit der
> Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion auf sich hat...
> (a) Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,[/mm] A, P) mit
> [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{(w_1,w_2,w_3,w_4): w_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \}, \A[/mm]
> = [mm]\P(A)[/mm] (Potenzmenge)
Das mußt Du besser aufschreiben !
Wie ist in Deinem W-Raum P und A definiert ?
>
> [mm]X((w_1,w_2,w_3,w_4))[/mm] = max [mm]\{w_1,w_2,w_3,w_4\}[/mm]
>
> [mm]Y((w_1,w_2,w_3,w_4))[/mm] = min [mm]\{w_1,w_2,w_3,w_4\}[/mm]
>
> (b) muss ich das über bedingte wahrscheinlichkeiten
> angeben? weil das max hängt ja immer von den anderen
> gewürfelten zahlen ab....??
Nein, das Eintreten der [mm] w_{i}s, [/mm] ist stochastisch unabhängig.
>
> (c) Die Verteilerfunktion ist ja so definiert:
> [mm]F_X[/mm] : [mm]\R[/mm] -> [0,1], [mm]F_X(x):=[/mm] P(X [mm]\leq[/mm] x)
> nur da brauch ich ja erst die
> wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, oder?
Richtig, Du mußt dir zunächst mal Gedanken machen , was für eine Art von ZE vorliegt, Dir die ganze Sache evtl. mit Urnenmodellen veranschaulichen(liegt ein Laplace-Versuch vor oder nicht etc...)
Für das Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktionen P(X=k) bzw. P(Y=j) , mußt Du dir mit (rel. einfachen ) kombinatorischen Methoden überlegen, wie Du die für das Ereignis { [mm] \omega \in \Omega |X(\omega)=k [/mm] } günstigen Ergebnisse abzählst.
Die Verteilungsfunktion erhälst Du dann über die Summe [mm] \summe_{k=1}^{m} [/mm] P(X=k)
>
> (d) ???
Das ist nur eine Anwendung von b)
Versuchs mal , ob Du klar kommst , sonst mit der konkreten Problemstellung und Teillösungen noch mal posten .
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
hi Heiko,
vielen dank für die tipps.
also ich hab mir überlegt, dass man den Versuch als Urnenmodell(6 Kugeln, 4xZiehen) mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge modellieren könnte,
d.h. es gibt [mm] \frac{6!}{(6-4)!}=360 [/mm] Möglichkeiten 4 Kugeln zu ziehen, stimmt das so?
ohja, das hab ich verdreht, P: [mm] p(\Omega) [/mm] -> [0,1] und [mm] A=p(\Omega)
[/mm]
(wobei das kleine p die potenzmenge sein soll und A=Menge der beobachtbaren Ereignisse, weiß nicht wie ich hier das geschwungene bekomm...), das ist in einem diskreten wahrscheinlichkeitsraum immer so, oder?
und die funktionen X, Y war das okay wie ich die aufgeschrieben hab?
ich häng irgendwie daran, wie ich das am besten abzählen soll:
P(X=1) = [mm] \frac{1}{360} [/mm] , weil das ja nur für (1,1,1,1) eintrifft.
P(X=2) = [mm] \frac{16}{360} [/mm] , da es [mm] 2^4 [/mm] Möglichkeiten gibt nur 1er und 2er zu ziehen bzw würfeln... kann man sich das so überlegen, oder bin ich auf einem ganz falschen weg?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi riley,
>
> vielen dank für die tipps.
> also ich hab mir überlegt, dass man den Versuch als
> Urnenmodell(6 Kugeln, 4xZiehen) mit Zurücklegen und ohne
> Reihenfolge modellieren könnte,
>
> d.h. es gibt [mm]\frac{6!}{(6-4)!}=360[/mm] Möglichkeiten 4 Kugeln
> zu ziehen, stimmt das so?
Das ist leider falsch, Du hast viel mehr Möglichkeiten, denn durch das Zurücklegen hast Du bei jedem Zug 6 Kugeln zur Auswahl.
Außerdem würde ich nicht auf die Reihenfolge verzichten, denn sonst hast Du keinen Laplace-Versuch mehr (was die nachfolgenden Berechnungen doch etwas erschwert.
> ohja, das hab ich verdreht, P: [mm]p(\Omega)[/mm] -> [0,1] und
> [mm]A=p(\Omega)[/mm]
> (wobei das kleine p die potenzmenge sein soll und A=Menge
> der beobachtbaren Ereignisse, weiß nicht wie ich hier das
> geschwungene bekomm...), das ist in einem diskreten
> wahrscheinlichkeitsraum immer so, oder?
Es ist sinnvoll die Potenzmenge zu betrachten, auch wenn wir in diesem ZE (längst)nicht alle
Ereignisse betrachten.
> und die funktionen X, Y war das okay wie ich die
> aufgeschrieben hab?
100%ig
>
> ich häng irgendwie daran, wie ich das am besten abzählen
> soll:
>
> P(X=1) = [mm]\frac{1}{360}[/mm] , weil das ja nur für (1,1,1,1)
> eintrifft.
>
> P(X=2) = [mm]\frac{16}{360}[/mm] , da es [mm]2^4[/mm] Möglichkeiten gibt nur
> 1er und 2er zu ziehen bzw würfeln... kann man sich das so
> überlegen, oder bin ich auf einem ganz falschen weg?
>
Das sind jetzt natürlich Folgefehler !
Überleg Dir mal wieviele Möglichkeiten es beim zweifachen Würfeln gibt und versuch´ die Ergebnisse auf den 4-fachen Wurf zu übertragen.
Kannst Dich dann mit Deinen Erkenntnisen ja noch mal melden
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
HI Heiko,
danke für die korrektur. also, meine neue erkenntnis:
mit Zurücklegen mit Reihenfolge gibt dann [mm] 6^4 [/mm] = 1296 Möglichkeiten. (hast recht, sind ein paar mehr ;) )
P(X=k) = [mm] \frac{k^4}{1296}
[/mm]
und bei den min ist es ja gerade umgekehrt:
Y(X=1)= [mm] \frac{6^4}{1296}
[/mm]
...
Y(X=6)= [mm] \frac{1}{1296}
[/mm]
d.h. ich zähl immer die verschiedenen Tupel ab, bei denen k das Minimum ist, und teil die dann durch die Anzahl aller möglichen Tupel, weil ein LaPlace-Experiment vorliegt. hab ich das richtig verstanden?
zur c) für die Verteilungsfunktion:
x<1: [mm] F_X(X)=P(X\leqx) [/mm] = 0
x [mm] \in[1,2): F_X(X) [/mm] = P(X [mm] \leq [/mm] x) = [mm] P(X=1)=\frac{1}{1296}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] [2,3): [mm] F_X(X) [/mm] = P(X [mm] \leq [/mm] x) = [mm] P(\{X=1\} \cup \{X=2\}) =\frac{1}{1296}+ \frac{2^4}{1296}
[/mm]
...
X [mm] \geq: [/mm] F(X) = [mm] P(X\leqx) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} P(X=x_i) [/mm] =1
skizziert ist das ja dann so eine treppenfunktion, oder?
d) [mm] P(\{X=5\} \cap \{Y=3\}) [/mm]
hierzu hat unser dozent in der großen übung etwas aufgeschrieben, er hat gemeint wir sollen diesen "trick" benutzen:
P(X=5) = P(X [mm] \leq5) [/mm] - [mm] P(X\leq [/mm] 4)
nur was dann??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
> HI Heiko,
>
> danke für die korrektur. also, meine neue erkenntnis:
> mit Zurücklegen mit Reihenfolge gibt dann [mm]6^4[/mm] = 1296
Richtig !
> Möglichkeiten. (hast recht, sind ein paar mehr ;) )
>
> P(X=k)= [mm]\frac{k^4}{1296}[/mm]
Falsch, überleg mal- es würde dann P(X=6) = 1 gelten !!
>
> und bei den min ist es ja gerade umgekehrt:
> Y(X=1)= [mm]\frac{6^4}{1296}[/mm]
> ...
> Y(X=6)= [mm]\frac{1}{1296}[/mm]
Folgefehler !
>
> d.h. ich zähl immer die verschiedenen Tupel ab, bei denen k
> das Minimum ist, und teil die dann durch die Anzahl aller
> möglichen Tupel, weil ein LaPlace-Experiment vorliegt. hab
> ich das richtig verstanden?
Das ist genau richtig, so ermittelt man die W-keit für ein Ereignis
in Laplaceräumen
> zur c) für die Verteilungsfunktion:
>
> x<1: [mm]F_X(X)=P(X\leqx)[/mm] = 0
>
> x [mm]\in[1,2): F_X(X)[/mm] = P(X [mm]\leq[/mm] x) = [mm]P(X=1)=\frac{1}{1296}[/mm]
>
> x [mm]\in[/mm] [2,3): [mm]F_X(X)[/mm] = P(X [mm]\leq[/mm] x) = [mm]P(\{X=1\} \cup \{X=2\}) =\frac{1}{1296}+ \frac{2^4}{1296}[/mm]
Nein, Du hast noch (längst) nicht alle Möglichkeiten abgezählt!
>
> ...
>
> X [mm]\geq:[/mm] F(X) = [mm]P(X\leqx)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} P(X=x_i)[/mm] =1
>
> skizziert ist das ja dann so eine treppenfunktion, oder?
>
> d) [mm]P(\{X=5\} \cap \{Y=3\})[/mm]
> hierzu hat unser dozent in der großen übung etwas
> aufgeschrieben, er hat gemeint wir sollen diesen "trick"
> benutzen:
> P(X=5) = P(X [mm]\leq5)[/mm] - [mm]P(X\leq[/mm] 4)
> nur was dann??
Mach Dir konkrete Beispiele ,z.B für P(X=2), das kann man noch "von Hand" abzählen und überprüfe, ob der allgemeine Term für die W-funktion mit Deinem Ergebnis für X=2 übereinstimmt .
Zur Kontrolle [mm] P(X=2)=\bruch{15}{6^4} [/mm]
Dran bleiben !
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Heiko,
irgendwie find ich meinen denkfehler nicht. ich hab jetzt mal alle tupel mit X=2 aufgeschrieben, da komm ich tatsächlich auf 15, aber wie kommt man da rechnerisch drauf?
hab eigentlich gedacht, dass man für die erste stelle 2 möglichkeiten hat, für die 2.stelle 2 möglichkeiten usw. das wären dann ja [mm] 2^4 [/mm] mögliche anordnungen, was ja nicht sein kann weil dann P(X=6)=1 wäre, das seh ich ja ein...
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Hi Heiko,
> irgendwie find ich meinen denkfehler nicht. ich hab jetzt
> mal alle tupel mit X=2 aufgeschrieben, da komm ich
> tatsächlich auf 15, aber wie kommt man da rechnerisch
> drauf?
> hab eigentlich gedacht, dass man für die erste stelle 2
> möglichkeiten hat, für die 2.stelle 2 möglichkeiten usw.
Auf wieviele Weisen kannst Du die 2 in einem 4-tupel verteilen- na ? -natürlich 4mal.
Das entscheidende ist jetzt, daß du für jede dieser 4 Möglichkeiten noch die verbleibenden 3 Plätze mit Zahlen zu belegen hast, die kleiner als 2 sind , da bleiben ja nicht soooo viele übrig.
Das ist aber noch nicht alles :
Es können ja auch 2 Zweien, 3 Zweien und 4 Zweien auftauchen- der Binomialkoeffizient [mm] {4\choose j} [/mm] , j=1..4 gibt Dir an, auf wieviele Weisen Du j Zweien in einem 4-Tupel verteilen kannst.
Vergiß aber nicht, diesen Binomialkoeffizienten mit der Anzahl der Möglichkeiten zu multipizieren (4-j) Plätz mit Einsen zu belegen.
Die Summe über diese Möglichkeiten ergibt, wie schon von Dir erkannt : 15.
Jezt mußt Du noch diese Überlegungen für X = 3,4,5,6 verallgemeinern und das Ganze in einem Term darstellen, so das Du P(X=k) angeben kannst.
Bekommst Du´s hin ?
Heiko
> das wären dann ja [mm]2^4[/mm] mögliche anordnungen, was ja nicht
> sein kann weil dann P(X=6)=1 wäre, das seh ich ja ein...
>
> viele grüße
> riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
oha, das ist ja wirklich kompliziert. also hab ich das so richtig verstanden:
es gibt
[mm] \vektor{4 \\ 1}\vektor{3 \\ 3}+\vektor{2 \\ 2}\vektor{4 \\ 2}+\vektor{4 \\ 3}\vektor{1 \\ 1}+\vektor{4 \\ 4}\vektor{0 \\ 0} [/mm] = 15 Möglichkeiten die 1er bzw 2er in dem 4-Tupel anzuordnen.
für X=3 hab ich dann wieder [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten eine 3 anzuordnen und auf die übrigen 3 plätze kann man wieder die 1en und 2en verteilen. das wären ja wieder die möglichkeiten von X=2 nur mit 3 statt 4, oder? muss man das dann einfach auch multiplizieren....=? *kopfrauch*
so vielleicht:
[mm] \vektor{4 \\ 1}( \vektor{3\\ 1}+\vektor{3 \\ 2}+\vektor{3 \\ 3}) +\vektor{4 \\ 2}( \vektor{2\\ 1}+\vektor{2 \\ 2}) +\vektor{4 \\ 3} \vektor{1\\ 1}+\vektor{4 \\ 4}) [/mm] ?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Hallo Heiko,
>
> oha, das ist ja wirklich kompliziert. also hab ich das so
> richtig verstanden:
> es gibt
> [mm]\vektor{4 \\ 1}\vektor{3 \\ 3}+\vektor{2 \\ 2}\vektor{4 \\ 2}+\vektor{4 \\ 3}\vektor{1 \\ 1}+\vektor{4 \\ 4}\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> = 15 Möglichkeiten die 1er bzw 2er in dem 4-Tupel
> anzuordnen.
>
Sehr gut !
> für X=3 hab ich dann wieder [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm] Möglichkeiten
> eine 3 anzuordnen und auf die übrigen 3 plätze kann man
> wieder die 1en und 2en verteilen. das wären ja wieder die
> möglichkeiten von X=2 nur mit 3 statt 4, oder? muss man das
> dann einfach auch multiplizieren....=? *kopfrauch*
>
Ich gebe Dir mal einfach den Term für die Anzahl der Möglichkeiten für X=3 an : [mm] \summe_{i=1}^{n}{4 \choose i}\*(k-1)^{4-i} [/mm] = [mm] k^{4}-(k-1)^4, [/mm] bitte die Gleichheit selbst nachrechnen !
Wenn Du die letzte Zeile verstanden hast, kannst du auch den allgemeinen Term [mm] \P(X=k) [/mm] aufstellen.
Nicht aufgeben , Du bist nah dran !
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 04.03.2007 | | Autor: | Riley |
Guten Morgen Heiko,
kannst du mir noch sagen für was das "k" in deiner formel steht? ist das diese formel für binomial Verteilungen? hab da so was in meiner formelsammlung gefunden, aber komm mit den bezeichnungen nicht klar. und soll das i von 1 bis 4 laufen, sonst bekommt man ja einen negativen exponenten...?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo riley,
kannst du mir noch sagen für was das "k" in deiner formel
Für das "k" wollte ich eigentlich "3" schreiben, denn der Term sollte ja die Möglichkeiten für X=3 angeben(statt X = 3 habe ich dir P(X=3)= ... geschrieben , sorry)
Jetzt habe ich dir (eigentlich versehentlich) die Anzahl der Möglichkeiten für beliebige [mm] 1\le k\le6 [/mm] angegeben.
Daraus kannst Du dir jetzt aber leicht die Verteiungsfunktion ableiten !
Du solltes aber wirklich versuchen zu verstehen, warum gerade dieser Term die gesuchte Anzahl der Möglichkeiten beschreibt.
Kannst mir dann mal die W-Funktion fürs Minimum posten.
Gruß von
Heiko
> viele grüße
> riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 04.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
hab erst noch ein paar zwischenfragen... wenn das schon die formel der möglichkeiten ist, was ist dann mit X=k=1 ? dann bekommt man ja 0 raus, aber (1,1,1,1) wäre doch eine (und die einzige) möglichkeit ?
ja, ich würd die formel auch gerne verstehen... also ist das n über der summe n=4 ?
`und um die gleichheit einzusehen, hilft da das hier weiter:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}=2^n [/mm] ??
viele grüße & vielen dank für deine hilfe!!
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi,
>
> hab erst noch ein paar zwischenfragen... wenn das schon die
> formel der möglichkeiten ist, was ist dann mit X=k=1 ? dann
> bekommt man ja 0 raus, aber (1,1,1,1) wäre doch eine (und
> die einzige) möglichkeit ?
Wieso, passt doch : #Mgl. für (X=1) = 1= [mm] \summe_{i=1}^{4}{4 \choose i}0^{4-i} [/mm] = [mm] 1^4- 0^4.#
[/mm]
Bedenke , dass [mm] 0^0 [/mm] := 1 definiert wird.
>
> ja, ich würd die formel auch gerne verstehen... also ist
> das n über der summe n=4 ?
Ja, genau . Die Summe besteht für jedes k aus 4 Summanden , denn falls k das Maximum über die [mm] \omega_{j} [/mm] ist, so gibt es doch die - und nur die- Möglichkeiten , daß das k genau 1 mal, genau 2 mal, genau 3 mal oder eben genau 4 mal vorkommt- daher sind´s eben 4 Summanden.
Für jeden einzelnen Summanden musst du dir doch überlegen, auf wieviele Weisen du die i mal vorkommenden k´s anordnen kannst (das hat mit dem Binomialkoeffizienten zu tun....) UND
auf wieviele Weisen du die restlichen (4-i) Zahlen(das hat mit [mm] (k-1)^{4-i} [/mm] zu tun...), die ja nun echt kleiner als k sein müssen, anordnen kannst.
So kommst du dann auf den Term für jeden Summanden in der Summe.
Mit ein paar leichten Modifikationen erhälst Du dann die Terme für (Y=k) also die W-fkt. fürs Minimum .
> 'und um die gleichheit einzusehen, hilft da das hier
> weiter:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}=2^n[/mm] ??
Um die Gleichheit einzusehen, mußt Du den binomischen Satz auf die Summe anwenden, schon steht die Behauptung da.
Klarer ?
MfG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 So 04.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Heiko,
ops stimmt da hätte ich genauer hinsehen sollen, an [mm] 0^0=1 [/mm] hab ich nicht gedacht.
die formel ist ja cool, ich glaub mir ist ein kleines lichtlein aufgegangen! ;)
als bsp nochmal X=3,hab ich es so richtig verstanden:
[mm] \vektor{4 \\ 1} 2^3 [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 2} 2^2 [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 3}2^1 [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 4}
[/mm]
[mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] gibt die Möglichkeiten an, eine 3 in 4tupel anzuordnen, [mm] 2^3 [/mm] gibt die möglichkeiten an wie man auf den restlichen 3 plätzen (deshalb exponent =3) jeweils 2 zahlen (nämlich die 1 oder 2) anordnen kann.
im nächsten summanden hat man dann zuerst wieder die möglichkeiten wie man zwei 3er im 4-tupel anwenden kann und dann noch auf den beiden restlichen plätzen (eponent=2) wieder die 1 oder 2.
und im Fall X=k hat man im ersten summanden die möglichkeiten wie man ein k im 4-tupel anordnen kann mal die möglichkeiten wie man k-1 Zahlen auf den übrigen 3 plätzen anordnen kann usw... haut das so hin?
gut, das mit dem binomialkoeffizient, es gilt doch
[mm] (x+y)^n =\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}x^{n-1}y^i.
[/mm]
d.h. hier wäre y=1 und x=k-1, oder? aber ich weiß nicht wie ich das mit den indizes verschieben soll, weil bei uns fängt die summierung bei i=1 an und bei der formel ja bei i=0 ??
dann zur wahrscheinlichkeitsverteilung. muss ich dann immer die anzahl der möglichkeiten X=k durch die gesamten [mm] 6^4 [/mm] möglichkeiten teilen?
also P(X=k) = [mm] \frac{k^4-(k-1)^4}{1296} [/mm] ?
... sorry für die vielen fragen, werd mir jetzt das mit Y versuchen zu überlegen...
viele grüße
riley
edit:
so hab drüber nachgedacht, die formel für das anzahl der möglichkeiten für Y müsste so aussehen:
[mm] \summe_{i=1}^{4} \vektor{4 \\ i} (6-k)^{4-i}
[/mm]
stimmt das? kann man bestimmt auch noch vereinfachen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Hi Heiko,
>
> ops stimmt da hätte ich genauer hinsehen sollen, an [mm]0^0=1[/mm]
> hab ich nicht gedacht.
> die formel ist ja cool, ich glaub mir ist ein kleines
> lichtlein aufgegangen! ;)
> als bsp nochmal X=3,hab ich es so richtig verstanden:
>
> [mm]\vektor{4 \\ 1} 2^3[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ 2} 2^2[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ 3}2^1[/mm]
> + [mm]\vektor{4 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm] gibt die Möglichkeiten an, eine 3 in 4tupel
> anzuordnen, [mm]2^3[/mm] gibt die möglichkeiten an wie man auf den
> restlichen 3 plätzen (deshalb exponent =3) jeweils 2 zahlen
> (nämlich die 1 oder 2) anordnen kann.
> im nächsten summanden hat man dann zuerst wieder die
> möglichkeiten wie man zwei 3er im 4-tupel anwenden kann und
> dann noch auf den beiden restlichen plätzen (eponent=2)
> wieder die 1 oder 2.
> und im Fall X=k hat man im ersten summanden die
> möglichkeiten wie man ein k im 4-tupel anordnen kann mal
> die möglichkeiten wie man k-1 Zahlen auf den übrigen 3
> plätzen anordnen kann usw... haut das so hin?
Es haut.
>
> gut, das mit dem binomialkoeffizient, es gilt doch
> [mm](x+y)^n =\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}x^{n-1}y^i.[/mm]
> d.h.
> hier wäre y=1 und x=k-1, oder? aber ich weiß nicht wie ich
> das mit den indizes verschieben soll, weil bei uns fängt
> die summierung bei i=1 an und bei der formel ja bei i=0 ??
Ist das schlimm ?
Du brauchst doch bloß den 0-ten Summanden beidseitig von der der Binomi abzuziehen und fertig ist die Laube !
> dann zur wahrscheinlichkeitsverteilung. muss ich dann immer
> die anzahl der möglichkeiten X=k durch die gesamten [mm]6^4[/mm]
> möglichkeiten teilen?
> also P(X=k) = [mm]\frac{k^4-(k-1)^4}{1296}[/mm] ?
Jetzt stellst Du Dich aber selbst in Frage .
Du hast doch bereits in einer Deiner letzten emails durchblicken lassen ,wie man die W-keit in Laplaceräumen bestimmt.
>
> ... sorry für die vielen fragen, werd mir jetzt das mit Y
> versuchen zu überlegen...
>
> viele grüße
> riley
>
> edit:
> so hab drüber nachgedacht, die formel für das anzahl der
> möglichkeiten für Y müsste so aussehen:
> [mm]\summe_{i=1}^{4} \vektor{4 \\ i} (6-k)^{4-i}[/mm]
> stimmt das?
> kann man bestimmt auch noch vereinfachen, oder?
Das mußt Du mir aber erklären,wie du drauf gekommen bist.
LG
Heiko
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:43 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
ah I see...
also es gilt [mm] (x+y)^4 [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 0} x^4 =\summe_{i=1}^{4} x^{4-i} y^i
[/mm]
und damit: [mm] \summe_{i=1}^{4}\vektor{4 \\ i} (k-1)^{4-i} [/mm] = [mm] (k-1+1)^4 [/mm] - [mm] (k-1)^4 [/mm] = [mm] k^4 [/mm] - [mm] (k-1)^4.
[/mm]
ja ich wollte nur sicher gehen...
wie ich auf die formel gekommen bin?
naja, ich hab mir überlegt, dass wenn das minimum
6 bzw 5 4 3 2 1 ist, dann gibt es dazu
0 (zu K=6) 1 (zu k=5) 2 (zu k=4) 3 4 5 restliche zahlen die irgendwie in dem 4- tupel verteilt werden müssen. beim maximum war das ja gerade anders rum, dass man immer k-1 zahlen noch verteilen musste.
und wenn man 6-k nimmt, dann bekommt man für k=6: 0, k=5:1 usw wie gewünscht.
d.h. für z.B. Y=4:
[mm] \summe_{i=1}^{4}\vektor{4 \\ i} (6-4)^{4-i} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1} 2^3 [/mm] + ... + [mm] \vektor{4 \\ 4} 2^0. [/mm] man hat zuerst 4 möglichkeiten eine 4 anzuordnen und 3 freie plätze für die zahlen 5 und 6 irgendwie anzuordnen... usw. ??
mit der formel gilt dann
[mm] \summe_{i=1}^{4}\vektor{4 \\ i} (6-k)^{4-i} [/mm] = [mm] (7-k)^4 [/mm] - [mm] (6-k)^4, [/mm] richtig?
hm ,für die verteilungsfunktion muss man die einzelnen wahrscheinlichkeiten für X=1...6 bestimmen und dann immer so ein intervall betrachten, oder?
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
hab mir das mit der verteilungsfunktion überlegt. allgemein ist sie ja auf einem diskr. Wkraum und X: [mm] \Omega [/mm] -> R so definiert:
[mm] F_X [/mm] : R -> [0,1], [mm] F_x(x):=P(X \leqx)
[/mm]
x<1: [mm] F_X(X) [/mm] = P(X<1) = 0
d.h. in unserer aufgabe:
[mm] x\in [/mm] [1,2): P(X<2) = [mm] \frac{1}{6^4}
[/mm]
[mm] x\in[2,3): [/mm] P(X<3) = P( [mm] \{X=1\} \cup \{X=2\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{6^4} [/mm] + [mm] \frac{15}{6^4}
[/mm]
[mm] x\in[3,4): [/mm] P(X<4) = P( [mm] \{X=1\} \cup \{X=2\} \cup\{X=3\}) =\frac{1}{6^4} [/mm] + [mm] \frac{15}{6^4} [/mm] + [mm] \frac{65}{64}
[/mm]
... usw...
[mm] x\in [/mm] [6, [mm] \infty) [/mm] P(x)= 1
so haben wir das an einem andren bsp in der VL gemacht, nur dürfte die funktion doch erst für x>6 den wert 1 annehmen, oder=?
die wahrscheinlichkeiten darf man wegen der sigma-additivität so addieren ?
gezeichnet gibt das dann so eine treppenfunktion mit sprüngen.
teil (d) weiß ich noch nicht weiter, das würde doch bedeuten dass 5=max und gleichzeitig y=min sein soll, z.b. (5,4,4,3).kann man das mit dieser produktregel berechnen...??
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
Guten Morgen ,
als erstes würde ich vorschlagen, das Du einen neuen Diskussionsstrang anfängst, denn die mails werden langsam etwas unleserlich dargestellt.
> hab mir das mit der verteilungsfunktion überlegt.
> allgemein ist sie ja auf einem diskr. Wkraum und X: [mm]\Omega[/mm]
> -> R so definiert:
> [mm]F_X[/mm] : R -> [0,1], [mm]F_x(x):=P(X \leqx)[/mm]
>
> x<1: [mm]F_X(X)[/mm] = P(X<1) = 0
>
> d.h. in unserer aufgabe:
>
> [mm]x\in[/mm] [1,2): P(X<2) = [mm]\frac{1}{6^4}[/mm]
>
> [mm]x\in[2,3):[/mm] P(X<3) = P( [mm]\{X=1\} \cup \{X=2\})[/mm] =
> [mm]\frac{1}{6^4}[/mm] + [mm]\frac{15}{6^4}[/mm]
>
> [mm]x\in[3,4):[/mm] P(X<4) = P( [mm]\{X=1\} \cup \{X=2\} \cup\{X=3\}) =\frac{1}{6^4}[/mm]
> + [mm]\frac{15}{6^4}[/mm] + [mm]\frac{65}{64}[/mm]
>
> ... usw...
>
> [mm]x\in[/mm] [6, [mm]\infty)[/mm] P(x)= 1
In meiner allerersten Antwort ist die Verteilungsfunktion bereits definiert.
Die Verteilung gibt [mm] P(X\le [/mm] k), k [mm] \in X(\Omega) [/mm] an.
Insbesondere: das [mm] F_{X} [/mm] : [mm] X(\Omega) [/mm] -> [0,1] , nicht [mm] F_{X} [/mm] : R -> [0,1]
als Definitionsbereich kommen also nur gewisse Zahlen aus [mm] \IN [/mm] in Frage, um R - [mm] X(\Omega) [/mm] brauchst Du dich nicht zu kümmern, dafür ist P(X=k) überhaupt nicht definiert.
Es ergibt sich dann z.B. P (X=k) = [mm] F_{X}(k) -F_{X}(k-1)
[/mm]
> die wahrscheinlichkeiten darf man wegen der
> sigma-additivität so addieren ?
Da die Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] nur endlich viele Elemente hat , ist das eine unmittelbare Folgerung aus den Axiomen , die für die Funktion p: [mm] \Omega [/mm] -> [0,1] gelten.
> gezeichnet gibt das dann so eine treppenfunktion mit
> sprüngen.
So sieht´s aus, falls Du keinen SEHR einfachen Term für die Verteilung [mm] F_{X} [/mm] heraus hast, mußt Du noch einmal rechnen.
>
> teil (d) weiß ich noch nicht weiter, das würde doch
> bedeuten dass 5=max und gleichzeitig y=min sein soll, z.b.
> (5,4,4,3).kann man das mit dieser produktregel
> berechnen...??
Denk mal ein wenig über bedingte W-keiten nach.
> viele grüße
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
oh ich glaub dann krieg ich ärger von den moderatoren, aber wenn man den thread auf "einzeln - baumnavigation" einstellt, bekommt man die artikel doch gut leserlich dargestellt ?
hab das grad nochmal im skript nachgeschlagen, da steht tatsächlich R -> [0,1], aber hast recht, macht nicht viel sinn. danke für den hinweis.
also das man die verteilungsfunktion als geschlossenen term angeben kann, war mir nicht klar, wir hatten das nur so einzeln gemacht. aber immerhin steht die formel im skript: F(x) = P(X [mm] \leqx) =\summe_{y \leq x}P_x(\{y\}). [/mm] das ist wohl das was du in deinem ersten beitrag gemeint hast:
F(x)= [mm] \summe_{k=1}^{m} [/mm] P(X=k) = [mm] \summe_{k=1}^{m} \frac{k^4-(k-1)^4}{6^4} [/mm] - stimmt das ? nur was ist m ??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Hallo Heiko,
>
> oh ich glaub dann krieg ich ärger von den moderatoren, aber
> wenn man den thread auf "einzeln - baumnavigation"
> einstellt, bekommt man die artikel doch gut leserlich
> dargestellt ?
Ok, gute Idee
>
> hab das grad nochmal im skript nachgeschlagen, da steht
> tatsächlich R -> [0,1], aber hast recht, macht nicht viel
> sinn. danke für den hinweis.
>
> also das man die verteilungsfunktion als geschlossenen
> term angeben kann, war mir nicht klar, wir hatten das nur
> so einzeln gemacht. aber immerhin steht die formel im
> skript: F(x) = P(X [mm]\leqx) =\summe_{y \leq x}P_x(\{y\}).[/mm] das
> ist wohl das was du in deinem ersten beitrag gemeint hast:
> F(x)= [mm]\summe_{k=1}^{m}[/mm] P(X=k) = [mm]\summe_{k=1}^{m} \frac{k^4-(k-1)^4}{6^4}[/mm]
> - stimmt das ? nur was ist m ??
Gegenfrage : Für was steht dein x in F(x) ?
Deine Bezeichnungen sind nicht konsistent mit meinen.
Mach Dir noch einmal klar - für welches Ereignis gibt [mm] F_{X}(x) [/mm] eine W-keit an?
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Riley |
hm, das ist eine gute frage...
also das große X steht für die zufallsvariable, also eine abblidung X: [mm] \Omega [/mm] -> E.
die x müssten doch die elemente aus der bildmenge [mm] \Omega [/mm] ' =E sein? und [mm] F_X(x) [/mm] = P(X [mm] \leq [/mm] x) gibt den wert für die einzelwahrscheinlichkeiten an'? aber irgendwie ist das alles sehr verwirrend...
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
> hm, das ist eine gute frage...
> also das große X steht für die zufallsvariable, also eine
> abblidung X: [mm]\Omega[/mm] -> E.
Was ist denn E konkret in unserem Fall ??
> die x müssten doch die elemente aus der bildmenge [mm]\Omega[/mm] '
> =E sein? und [mm]F_X(x)[/mm] = P(X [mm]\leq[/mm] x) gibt den wert für die
> einzelwahrscheinlichkeiten an'?
Genauer ausdrücken !!
"gibt den wert für die einzelwahrscheinlichkeiten an "
ist völlig nichtssagend.
Lg
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Riley |
E = [mm] \{1,...,6\}
[/mm]
... okay, ich versuchs nochmal: die verteilungsfunktion gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt, wobei die x irgendwelche werte aus R sind, allgemein gesagt, nur was das für die aufgabe hier konkret bedeutet ... ??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
>
> E = [mm]\{1,...,6\}[/mm]
OK
>
> ... okay, ich versuchs nochmal: die verteilungsfunktion
> gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable
> einen Wert kleiner oder gleich x annimmt
GENAU
wobei die x
> irgendwelche werte aus R sind, allgemein gesagt, nur was
> das für die aufgabe hier konkret bedeutet ... ??
Du brauchst doch jetzt nur noch den allgemeinen Fall auf unerer konkretes ZE anzuwenden .
Du hast doch eben schon geschrieben , dass die Definitionsmenge für unser [mm] F_{X} [/mm] gar nicht R ist und auch nicht sein kann .(Ich glaube, Du siehst im Moment den Wald vor lauter Bäumen nicht)
Du warst schon mal näher dran, konzentrier´Dich noch einmal.
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Riley |
ja, also [mm] F_X [/mm] ist auf [mm] \Omega [/mm] definiert, d.h. die kleinen x nehmen auch die werte von 1...6 an... ??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
> ja, also [mm]F_X[/mm] ist auf [mm]\Omega[/mm] definiert, d.h. die kleinen x
> nehmen auch die werte von 1...6 an... ??
>
[mm]F_X[/mm] ist nicht auf [mm] \Omega [/mm] , sondern auf [mm] X(\Omega) [/mm] definiert, der ist 1...6 [mm] \in \Omega [/mm] ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:42 Di 06.03.2007 | | Autor: | Riley |
hallo heiko,
irgendetwas versteh ich hier wohl ziemlich falsch... ich dachte wenn das X doch das maximum von diesen Tupel aus [mm] \Omega [/mm] angibt, dann ist doch [mm] X(\Omega) [/mm] eine Zahl zwischen 1 und 6 ???
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Di 06.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo riley,
Ich habe noch eimal nachgesehen .
Die Verteilungsfunktion ist auch im diskreten Fall eine Funktion [mm] :\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] ich habe dir also etwas falsches angegben, daher unsere Mißverständnisse was den Definitionsbereich angeht:
Also, es ist jetzt definitiv so, dass du dir [mm] F_{X} [/mm] als Treppenfunktion vorstellen mußt, die
für x < 1 den Wert 0 annimmt und für x [mm] \ge [/mm] 6 dem Wert 1.
Auf den Intervallen [k,k+1) , k = 1..5 wird [mm] P(X\le [/mm] k ) angenommen.
Ich hoffe, das Du jetzt etwas klarer siehst , nochmals sorry für die falsche Info.
Grüße von
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 06.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
naja, ich war jetzt wirklich ganz durcheinander... aber die treppenfunktion hab ich gezeichnet, das müsste passen! =)
nur zu der letzten teilaufgabe. du hast ja gemeint man kann das irgendwie mit bedingter wahrscheinlichkeit lösen ?
also die tupels für die das zutrifft müssen mind. eine 3, eine 5 haben und können noch eine 4 haben, z.B. (3,4,4,5) oder (3,3,3,5)... also wenn du mir noch ein tipp geben kannst, wie man das mathematisch berechnet, wär cool, hab das jetzt nämlich einfach abgezählt, indem ich alle aufgeschrieben habe... *puh*
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 06.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Riley,
na, dann ist jetzt ja wieder alles klar...
Die gesucht W´keit bekommst Du schnell mithilfe der Verteilungsfunktion [mm] F_{X} [/mm]
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 06.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
naja, so klar leider nicht...
was meinst du mit produktregel? die wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren ist doch hier nicht richtig ?
oder meinst du die x [mm] \in [/mm] [3,5] betrachten, und dann die [mm] F_X(X) [/mm] werte zu multiplizieren...??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 06.03.2007 | | Autor: | heyks |
Richtig erkannt, denn das Produkt kann nicht die richtige W´keit sein.
so z.B. [mm] P(X=2\cap [/mm] Y=3)=0 aber [mm] P(X=2)\cdot P(Y=3)\not= [/mm] 0
d.h du berechnest [mm] P({\omega \in \Omega | X(\omega)=5 und Y (\omega) =3}) [/mm] in dem Du
[mm] \{\omega \in \Omega | X(\omega)=5\} [/mm] \ [mm] \{\omega \in \Omega | X(\omega)=5 ~ und \omega_{i}=2 ~ oder \omega_{i}=1\} [/mm] betrachest.
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 06.03.2007 | | Autor: | Riley |
... muss ich dann nicht auch noch
[mm] \{ w \in \Omega : Y(w)=3 \} [/mm] \ [mm] \{w \in \Omega: Y(w)=3 und w_i=6 \} [/mm] betrachten?
... ich glaub ich muss da noch bissle drüber nachdenken...
viele grüße
riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 06.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi riley,
zu Deiner Kontrolle : 50
LG
Heiko
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Heiko,
sehr cool, hab ich auch raus, durch bäumchen zeichnen und per hand abzählen  - ist vielleicht nicht der eleganteste weg, aber immerhin das ergebnis stimmt.
also irgendwie kann ich mit der Zufallsvariable X, deren Verteilung [mm] P_X, [/mm] und der Verteilungsfunktion [mm] F_X(x) [/mm] und dem "ganz normalen" Wahrscheinlichkeitsmaß P und wie die zusammenhängen noch nicht klar... deshalb weiß ich auch nicht wie ich das was du aufgeschrieben hast weiter umformen oder berechnen soll...
viele grüße
riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mi 07.03.2007 | | Autor: | heyks |
Na ja,
die Umformung von [mm] \summe_{i=1}^{k}P(X=i) [/mm] bzw [mm] \summe_{i=1}^{k}P(Y=i) [/mm] zu einem einfacheren Term ist nur ein bisschen elementare "Summengymnastik"denn Du kennst P(X=i) explizit.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 08.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
[mm] \summe_{k=1}^{6} [/mm] P(X=k) = [mm] \frac{1}{6^4} \summe_{k=1}^{6}(k-(k-1)^4)
[/mm]
kann man mit irgendwelchen tricks bestimmt noch weiter vereinfachen, aber kannst du mir noch sagen, was das mit dem hier zu tun hat...???
viele grüße
riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Do 08.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo riley,
>
> [mm]\summe_{k=1}^{6}[/mm] P(X=k) = [mm]\frac{1}{6^4} \summe_{k=1}^{6}(k-(k-1)^4)[/mm]
Das ist aber nicht [mm]\summe_{k=1}^{6}[/mm] P(X=k) , da fehlt noch irgendwo die 4.
Außerdem ist [mm]\summe_{k=1}^{6}[/mm] P(X=k)= 1, du mußt die obere Summationsgrenze variabel lassen.
In meiner mail vom 6.März, 11:14 Titel : Zufallsvariable: Verteilung,
habe ich die Verteilungsfunktion doch schon definiert und Du hast doch schon erkannt, daß es sich um eine Treppenfunktion handelt...
> kann man mit irgendwelchen tricks bestimmt noch weiter
> vereinfachen,
Vereinfachung durch Indexverschiebung...
aber kannst du mir noch sagen, was das mit
> dem hier zu tun
> hat...???
Na ja, steht doch schon da.
Die Summe gibt die W´keit dafür an, daß beim 4-fachen Wurf das Maximum kleiner oder gleich x ist..
Eine Funktion , [mm] F_{X} [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] die P(X [mm] \le [/mm] x) angibt, nennt man Verteilungsfunktion.
Klar geworden ?
LG
Heiko
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Do 08.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
neuer versuch:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] P(X=k) = [mm] \frac{1}{6^4}\summe_{k=1}^{n} k^4-(k-1)^4 =\summe_{k=0}^{n-1} (k+1)^4-(k+1-1)^4 [/mm] = [mm] \frac{1}{6^4}\summe_{k=0}^{n-1} (k+1)^4 [/mm] - [mm] k^4 [/mm] = [mm] \fac{1}{6^4} \summe_{k=0}^{n-1} k^4+4k^3+6k^2+4k+1-k^4 [/mm] = [mm] \frac{1}{6^4}\summe_{k=0}^{n-1} (4k^3+6k^2+4k+1) [/mm]
besser so?
und nun? wie komm ich damit zu den 50 möglichkeiten? (angenommen ich hätte das für Y auch...)
viele grüße
riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Fr 09.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hi,
[mm] \frac{1}{6^4}\summe_{k=1}^{n} k^4-(k-1)^4 [/mm] = [mm] \frac{1}{6^4}\summe_{k=1}^{n} k^4-\frac{1}{6^4}\summe_{k=1}^{n}(k-1)^4 [/mm] = [mm] \frac{1}{6^4}\summe_{k=1}^{n} k^4-\frac{1}{6^4}\summe_{k=0}^{n-1}k^4= [/mm] ?
siehst Du´s jetzt ?
Durch kombinatorische Überlegungen kommst du auf die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse.
Du mußt Dir halt überlegen, wieviele Mgl. es gibt, bei genau 1,2,3 oder 4 Fünfen mindestens eine 3 im Tupel zu haben, wobei sonst nur noch die Vier vorkommen darf.
LG
Heiko
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi,
[mm] \frac{1}{6^4}\summe_{k=1}^{n} k^4-\frac{1}{6^4}\summe_{k=0}^{n-1}k^4= \frac{1}{6^4} n^4
[/mm]
und jetzt??
also man hat doch z.B. [mm] \vektor{4 \\ 1 }\vektor{3 \\ 1}\vektor{2 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten eine 5, eine 3 und 2 4er anzuordnen... oder? aber es gibt ja leider noch viel mehr möglichkeiten....
viele grüße
riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 09.03.2007 | | Autor: | heyks |
Guten Morgen,
> [mm]\frac{1}{6^4}\summe_{k=1}^{n} k^4-\frac{1}{6^4}\summe_{k=0}^{n-1}k^4= \frac{1}{6^4} n^4[/mm]
auf ähnliche Weise kannst Du P(Y [mm] \le [/mm] m) auch noch vereinfachen.
Du kannst doch die Fälle P(X=5 ) genauer anschauen,
und unterscheidest nach der Anzahl j, j =1..4 der vorkommenden Fünfen
und überlegst dir auf wieviele Weisen du jedes mal die 4-j freien Plätze mit genau 1 Drei, ..., genau (4-j) Dreien belegen kannst,
Für die Ziffern , die im Tupel [mm] \not= [/mm] 3 und [mm] \not= [/mm] 5 sind hast Du nicht soooo viele Mgl.´en.
Zur Kontrolle : [mm] {4\choose 1} \cdot \left( {3\choose 1}+{3\choose 2}+{3\choose 3} \right)+{4\choose 2} \cdot \left( {2\choose 1}+{2\choose 2} \right)+{4\choose 3} \cdot {1\choose 1}+{4\choose 4} \cdot0
[/mm]
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Di 13.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Heiko,
danke nochmal für deine hilfe & sorry, dass ich erst jetzt wieder schreibe.
aber ich hab die aufgabe jetzt endlich verstanden wie es funktioniert mit dem abzählen, auch ohne bäumchen zeichnen *freu*
viele grüße
riley
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Di 13.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Riley,
bitte schön, gern geschehen.
Heiko
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