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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mi 28.10.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Der Zufallsgenerator eines Computers kann nur unabhängige Zufallszahlen erzeugen, die aus einer Gleichverteilung über dem Intervall [0,1] stammen. Ein Benutzer möchte aber unabhängige Zufallszahlen mit der Verteilungsfunktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1-e^{-x}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{,} \\ 0, & \mbox{sonst,}\end{cases}
[/mm]
erzeugen. Um dies zu erreichen, berechnet der Benutzer die Zufallsvariablen [mm] T(X_{j}) [/mm] für [mm] T:[0,1[\to\IR [/mm] , wobei [mm] X_{j} [/mm] die Zufallszahlen seien, die der Computer ausgibt. Welche Funktion T sollte der Benutzer wählen. |
Huhu.
Benötige Hilfe bei dieser Aufgabe. Prinzipiell ist mir das klar. Ich hab das so verstanden, dass der Benutzter bei den Zufallszaheln, keine Gleichverteilung haben will, sondern in der Form wie die Verteilungsfunktion ist. Mir ist jetzt aber überhaupt nicht klar, wie ich an die Sache rangehen soll. Ich häte schon mal keine Idee, wie ich die Zufallsvariable "erraten" soll und mathematisch das zu Zeigen da hab ich noch garkein Plan. Hab ich die Aufgabe denn richtig verstanden? Wenn ja wie würde ich jetzt weiter machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Zufallsgenerator eines Computers kann nur unabhängige
> Zufallszahlen erzeugen, die aus einer Gleichverteilung
> über dem Intervall [0,1] stammen. Ein Benutzer möchte
> aber unabhängige Zufallszahlen mit der
> Verteilungsfunktion:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1-e^{-x}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{,} \\ 0, & \mbox{sonst,}\end{cases}[/mm]
>
> erzeugen. Um dies zu erreichen, berechnet der Benutzer die
> Zufallsvariablen [mm]T(X_{j})[/mm] für [mm]T:[0,1[\to\IR[/mm] , wobei [mm]X_{j}[/mm]
> die Zufallszahlen seien, die der Computer ausgibt. Welche
> Funktion T sollte der Benutzer wählen.
>
> Huhu.
> Benötige Hilfe bei dieser Aufgabe. Prinzipiell ist mir
> das klar. Ich hab das so verstanden, dass der Benutzter bei
> den Zufallszaheln, keine Gleichverteilung haben will,
> sondern in der Form wie die Verteilungsfunktion ist.
Genau.
> Mir
> ist jetzt aber überhaupt nicht klar, wie ich an die Sache
> rangehen soll. Ich häte schon mal keine Idee, wie ich die
> Zufallsvariable "erraten" soll und mathematisch das zu
> Zeigen da hab ich noch garkein Plan. Hab ich die Aufgabe
> denn richtig verstanden? Wenn ja wie würde ich jetzt
> weiter machen?
Es gilt ja [mm] $P(X_j \le [/mm] x) = x$ fuer $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$. Wenn nun [mm] $P(T(X_j) \le [/mm] x) = f(x) = [mm] P(X_j \le [/mm] f(x))$ sein soll, wie kannst du wohl am geschicktesten $T$ waehlen? (Bedenke, dass $f$ injektiv ist.)
LG Felix
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hey, kann man dann nicht einfach [mm] T(X_{j})=X_{j} [/mm] setzen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hey, kann man dann nicht einfach [mm]T(X_{j})=X_{j}[/mm] setzen???
Nein: dann waer [mm] $P(T(X_j) \le [/mm] x) = x$ und nicht [mm] $P(T(X_j) \le [/mm] x) = f(x)$.
LG Felix
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also ist es dann [mm] T(X_{j})=f(X_{j}). [/mm] oder könntest du das nochmal etwas ausführlicher erklären??
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also ist es dann [mm]T(X_{j})=f(X_{j}).[/mm]
Nein. Warum sollte das so sein?
Rate doch nicht einfach, sondern versuch mal umzuformen. Es soll ja [mm] $P(T(X_j) \le [/mm] x) = [mm] P(X_j \le [/mm] f(x))$ sein; dies ist z.B. erfuellt wenn [mm] $T(X_j) \le [/mm] x [mm] \Leftrightarrow X_j \le [/mm] f(x)$ gilt. Jetzt sollte es wirklich nicht mehr schwer sein, zu erraten, wie man $T$ waehlen koennte!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 28.10.2009 | | Autor: | mb588 |
Ich glaub ich habs. Ich würde vermuten ich wähle die Umkehrfunktion von f(x), da [mm] T:[0,1[\to\IR [/mm] abbildet. Also dann wäre T(x)=-ln(1-x) mit [mm] x\in [/mm] [0,1[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 28.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
![[]](/images/popup.gif) da schau her (Folie 22).
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 28.10.2009 | | Autor: | mb588 |
Jo genau und so wie ich mir das gedacht habe, müsste das ja denn richtig sein. Was ja auch eiegntlich klar ist, da F eine Abbildung [mm] F:\IR\to [/mm] [0,1] ist und mit der Umkehrfunktion hab ich dann die gewünschte [mm] F^{-1}:[0,1[\to\IR [/mm] Zufallsvariable.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Jo genau und so wie ich mir das gedacht habe, müsste das
> ja denn richtig sein. Was ja auch eiegntlich klar ist, da F
> eine Abbildung [mm]F:\IR\to[/mm] [0,1] ist und mit der
> Umkehrfunktion hab ich dann die gewünschte
> [mm]F^{-1}:[0,1[\to\IR[/mm] Zufallsvariable.
Fast: die gesuchte Zufallsvariable ist [mm] $F^{-1} \circ X_j [/mm] = [mm] F^{-1}(X_j)$, [/mm] und nicht [mm] $F^{-1}$ [/mm] selber.
LG Felix
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