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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Ist X: Omega --> [mm] \IR [/mm] eine Zufallsvariable, so auch
a) Y, mit [mm] Y(x):=max\{X(x),c\} [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
b) [mm] X^{k} [/mm] mit k [mm] \in \IN [/mm] |
Ich hab mich erst mal an b) versucht:
Sei X Zufallsvariable daher gilt für alle a [mm] \in \IR [/mm]
[mm] \{X \ge a\} [/mm] := [mm] \{w | X(w) \ge a\} \in \epsilon
[/mm]
Sei k [mm] \in \IN [/mm] gerade dann
[mm] \{ X^{k} > a\}= \omega [/mm] für a < 0 und [mm] \{ X > \wurzel[k]{a}\} \cup \{ X < - \wurzel[k]{a} \} [/mm] sonst.
Sei k ungerade dann
[mm] \{ X^{k} > a \}= \omega [/mm] für a >0 und [mm] \{ X > \wurzel[k]{a} \} \cup \{ X < - \wurzel[k]{a} \} [/mm] sonst.
Reicht das denn ?
Bei Aufgabe A) versteh ich nicht einmal die Aussage.
da bräuchte ich wirklich Hilfe. wer super wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Di 09.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Ayame
Jeder Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $\Omega\to\mathbb [/mm] R$ nach den reellen Zahlen ist eine Zufallsvariable. Daher verstehe ich deine Frage nicht ganz.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Di 09.11.2010 | | Autor: | Ayame |
Nein nicht jede funltion von Omega --> [mm] \IR [/mm] muss eine Zufallsvariable sein, z.B. w [mm] \mapsto \bruch{1}{w} [/mm] für w=0 wäre keine Zahl definiert.
Ich soll davo ausgehen dass X eine Zufallsvariable ist und daher auch :
a) Y, mit [mm] Y:=max\{X(x),c\} [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
b) [mm] X^{k} [/mm] mit k [mm] \in \IR
[/mm]
Ich versteh die Maximumfunktion leider nicht. was ist denn mit max{X(x),c} gemeint. Ist Y(x) immer die größere Zahl ob das nun X(x) oder c ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nein nicht jede funltion von Omega --> [mm]\IR[/mm] muss eine
> Zufallsvariable sein,
Wenn man voraussetzt, dass Zufallsvariablen messbar sind, dann stimmt das.
Es haengt dann stark von der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\Omega$ [/mm] ab.
> z.B. w [mm]\mapsto \bruch{1}{w}[/mm] für
> w=0 wäre keine Zahl definiert.
Nun, was ist hier denn [mm] $\Omega$? [/mm] Etwa [mm] $\IR$? [/mm] In dem Fall hast du keine Funktion [mm] $\Omega \to \IR$ [/mm] angegeben, sondern nur eine partielle Funktion.
Das ist also kein Gegenbeispiel.
> Ich soll davo ausgehen dass X eine Zufallsvariable ist und
> daher auch :
> a) Y, mit [mm]Y:=max\{X(x),c\}[/mm] mit c [mm]\in \IR[/mm]
> b) [mm]X^{k}[/mm] mit k
> [mm]\in \IR[/mm]
Genau. Du sollst wohl zeigen, dass diese Funktionen dann messbar sind.
> Ich versteh die Maximumfunktion leider nicht. was ist denn
> mit max{X(x),c} gemeint. Ist Y(x) immer die größere Zahl
> ob das nun X(x) oder c ist ?
Ja. $Y(x)$ ist fuer festes $x$ die groessere von den beiden Zahlen $X(x)$ und $c$.
Du musst zeigen, dass diese Funktion messbar ist.
Dazu musst du etwas ueber die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] wissen, die [mm] $\IR$ [/mm] verpasst wurde.
(Du kannst auch einen Hilfssatz beweisen: ist $f : [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] eine ZV und ist $g : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] stetig, so ist $g [mm] \circ [/mm] f$ messbar.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Di 09.11.2010 | | Autor: | Ayame |
Danke schön für die Antwort.
Ich hätte noch eine kleine Frage zu einer anderen Aufgabe:
ich soll zeigen können dass X: Omega --> [mm] \IR [/mm] genau dann eine Zufallsvariable ist wenn [mm] \{X \le a\} [/mm] für alle rationalen a [mm] \in \IR [/mm] in [mm] \epsilon [/mm] liegt.
Ich hab aber gelernt dass X dann Zufallsvariable wenn für alle [mm] a\in \IR [/mm] die Menge [mm] \{X \ge a\} [/mm] !! in [mm] \epsilon [/mm] liegt.
Wieso macht es so einen großen unterschied ob nun a eine rationale oder reelle Zahl ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Allgemein gilt folgendes
Sei $(X, [mm] \mathcal{A})$ [/mm] ein messbarer Raum und ist $f:X [mm] \to \IR$ [/mm] eine Abbildung. Ist [mm] \IR [/mm] versehen mit der Borelschen [mm] \sigma [/mm] - Algebra , so sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) f ist messbar.
(2) [mm] $\{f \ge a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IR$
[/mm]
(3) [mm] $\{f \ge a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IQ$
[/mm]
(4) [mm] $\{f \le a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IR$
[/mm]
(5) [mm] $\{f \le a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IQ$
[/mm]
(6) [mm] $\{f < a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IR$
[/mm]
(7) [mm] $\{f < a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IQ$
[/mm]
(8) [mm] $\{f > a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IR$
[/mm]
(9) [mm] $\{f > a\} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IQ$
[/mm]
FRED
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