Zufallsvariable,Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Mo 17.12.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Eine der 5! Permutationen von {1, 2, 3, 4, 5} wird zufällig gezogen.
X: Anzahl der „Fixpunkte“.
(Hinweis: 24351 hat mit der 3 nur einen Fixpunkt, 12453 hat mit der 1 und der 2 zwei Fixpunkte).
Aufgabe: Bestimme Ergebnisraum, Definitionsbereich, Wertebereich, Zuordnungsvorschrift, Erwartungswert und eine Verteilung. |
Könnt ihr mir das mit den Fixpunkten nochmal erklären? ich komme hier nicht so recht weiter.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi heinze,
man kuckt sich die geordneten 5-Tupel an und wenn die 1 an erster Stelle steht, oder die 2 an zweiter oder die 3 an dritter, usw. werden sie hier jeweils ein Fixpunkt genannt. 12345 hat fünf Fixpunkte, weil alle Zahlen an der "richtigen" Stelle stehen.
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mo 17.12.2012 | | Autor: | heinze |
Danke, das hab ich schonmal verstanden. Allerdings ist mir nicht klar, wie man den Ergebnisraum hierbei angibt. Ich kann ja nicht alle 120 möglichen Ergebnisse angeben.
Ich weiß auch nicht recht wie man Definitionsbereich, Wertebereich und Zuordnungsvorschrift angeben kann.
Könnt ihr mir hierbei helfen?
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Danke, das hab ich schonmal verstanden. Allerdings ist mir
> nicht klar, wie man den Ergebnisraum hierbei angibt. Ich
> kann ja nicht alle 120 möglichen Ergebnisse angeben.
nein, denn der Zufallsvariablen soll ja die Anzahl der Fixpunkte zugeordnet werden.
>
> Ich weiß auch nicht recht wie man Definitionsbereich,
> Wertebereich und Zuordnungsvorschrift angeben kann.
Überlege dir für jede Zahl zwischen 0 und 5, wie viele Perumutationen es mit dieser Anzahl an Fixpunkten gibt. Fangen wir mal mit X=4 an, das kann man nämlich ausschließen. X=5 ist ebenfalls einfach, dafür gibt es genau eine Möglichkeit. Und jetzt du wieder. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 17.12.2012 | | Autor: | heinze |
für
x=5 gibt es eine Möglichkeit
x=4 5 Möglichkeiten
x=3 10 Möglichkeiten
x=2 10 Möglichkeiten
x=1= 5 Möglichkeiten
ich hab e noch Probleme den Ergebnisraum anzugeben. Wir haben ds in der VL bisher nur für z.B. Münzwurf angegeben oder Würfel, dabei ist das ja klar. Aber wie ich das hier mache ist mir unklar.
Der Wertebereich ist x=1,2,3,4,5
Der Definitionsbereich geht von 1-10
Der Erwartungswert müsste sein: 5*1+4*5+3*10+2*10+1*1=...? richtig?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 17.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo heinze,
> für
> x=5 gibt es eine Möglichkeit
Ja.
> x=4 5 Möglichkeiten
Nein.
> x=3 10 Möglichkeiten
Ja.
> x=2 10 Möglichkeiten
Nein.
> x=1= 5 Möglichkeiten
Nein.
X kann auch den Wert 0 annehmen, denn es gibt Permutationen der Zahlen von 1 bis 5 ohne Fixpunkt.
Mir erscheint die Bestimmung dieser Mächtigkeiten der Form [mm] $|\{X=i\}|$ [/mm] mit [mm] $i=0,1,\ldots,5$ [/mm] übrigens gar nicht so einfach...
> ich hab e noch Probleme den Ergebnisraum anzugeben. Wir
> haben ds in der VL bisher nur für z.B. Münzwurf angegeben
> oder Würfel, dabei ist das ja klar. Aber wie ich das hier
> mache ist mir unklar.
Der Ergebnisraum eines Zufallsexperimentes ist die Menge aller möglichen Ausgänge. Hier sind die Ausgänge die Permutationen der Zahlen von 1 bis 5.
> Der Wertebereich ist x=1,2,3,4,5
Nein. X kann auch den Wert 0 annehmen. Welche der Werte von 1 bis 5 tatsächlich möglich sind (also welche Fixpunkte-Anzahlen es gibt), ist noch zu untersuchen.
> Der Definitionsbereich geht von 1-10
Nein. Der Definitionsbereich einer jeden Zufallsvariablen ist der Ergebnisraum.
> Der Erwartungswert müsste sein: 5*1+4*5+3*10+2*10+1*1=...?
> richtig?
Abgesehen von den Folgefehlern: Beispielsweise anstelle der ersten 5 müsste $P(X=1)$ stehen und nicht [mm] $|\{X=1\}|$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 17.12.2012 | | Autor: | heinze |
Irgendwie steige ich hier nicht durch. das fängt bereits mit dem Ergebnisraum an. ich kann doch unmöglich alle 120 Permutationen aufählen!! oder kann ich 5! als Ergebnisraum schreiben??
Wie find eich Wertebereich heraus?
Wie Definitionsbereich?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Walde |
hi heinze,
> Irgendwie steige ich hier nicht durch. das fängt bereits
> mit dem Ergebnisraum an. ich kann doch unmöglich alle 120
> Permutationen aufählen!! oder kann ich 5! als Ergebnisraum
> schreiben??
Nee, dazu hätte ich auch keine Lust. Das muss man entweder so aufschreiben, dass ein Abzählmuster erkennbar ist (so was wie bei [mm] \IZ=\{0;-1;1;-2;2,-3;3,\ldots\}, [/mm] da schreibt man auch nicht alles auf), oder es anders geschickt aufschreiben, so wie bei [mm] \IQ=\{\bruch{a}{b}| a,b\in\IZ, b\not=0\}. [/mm] Das geht denke ich schon, ich hab zumindest eine Idee.
5! als Ergebnisraum macht natürlich keinen Sinn. [mm] \Omega=\{5!\} [/mm] ist doch Quatsch. Das würde bedeuten, es ist ein Experiment mit einem möglichen Ausgang und der ist 5!. Das ist die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) von [mm] \Omega.
[/mm]
>
> Wie find eich Wertebereich heraus?
> Wie Definitionsbereich?
Da gehts um Def.-/Wertebereich der Zufallsvariablen X:Anzahl der Fixpunkte. Kuck halt nochmal nach, wie das bei einer ZV auszusehen hat, bzw. lies die Definition von ZV nach. Ist ganz einfach, wirklich, du warst ja auch schon auf der richtigen Spur.
Das meiner Meinung nach wirklich Schwere (das sehe ich so wie Tobias schon weiter oben), ist es die jeweilige Anzahl der Permutationen zu finden, die auf die entsprechenden Werte von X abbilden. (mit den offensichtlichen einfachen Ausnahmen.)
>
>
> LG
> heinze
>
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 17.12.2012 | | Autor: | heinze |
Bin irgendwie zu blöd für diese Aufgabe!
Ergebnismenge ist [mm] \Omega={12345,21345,...,51342}
[/mm]
Kann ich das so angeben? Ich habe keine andere Idee mehr.
Definitionsbereich sind die Werte bzw die Anzahl der Fixpunkte. Allerdings versthe ich nicht oder ich selbst sehe es nicht, warum nicht 0,1,2,3,4,5 in Frage kommen. Es gibt doch für jede Anzahl von Fixpunkte Kombinationen.
Wertebereich ist die Anzahl der möglichen Kombinationen pro Wert aus dem Definitionsbereich.
Allerdings weiß ich auch keine Zuordnungsvorschrift hierfür.
Verflixte Aufgabe!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Bin irgendwie zu blöd für diese Aufgabe!
>
> Ergebnismenge ist [mm]\Omega={12345,21345,...,51342}[/mm]
> Kann ich das so angeben? Ich habe keine andere Idee mehr.
Ein Abzählmuster erkenn ich da nicht, ich dachte eher an so was:
[mm] \Omega=\{(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)|a_i\in\{1,2,3,4,5\}, i=1,\ldots,5 \mbox{ und }a_i\not= a_j \mbox{ für }i\not=j\} [/mm]
>
> Definitionsbereich sind die Werte bzw die Anzahl der
> Fixpunkte.
Nein,das sehe ich anders. Sag mir mal, was du/ihr unter einer Zufallsvariable versteh(s)t.
> Allerdings versthe ich nicht oder ich selbst
> sehe es nicht, warum nicht 0,1,2,3,4,5 in Frage kommen.
Für was?
> Es gibt doch für jede Anzahl von Fixpunkte Kombinationen.
Versuch mal eine für X=4 anzugeben...(vorsicht Fangfrage)
>
> Wertebereich ist die Anzahl der möglichen Kombinationen
> pro Wert aus dem Definitionsbereich.
Definitiv nein. Die Anzahl der möglichen Kombinationen pro Wert hat was mit der Wahrscheinlichkeit dieses Wertes zu tun.
> Allerdings weiß ich auch keine Zuordnungsvorschrift
> hierfür.
Das weiß ich auch grade nicht, ist wie gesagt auch nicht so einfach glaube ich. Aber überleg erst nochmal was Def.- und was Wertebereich von X ist. Kuck dir die Definition einer ZV an. Was du hier dazu geschrieben hast ist nicht richtig.
>
> Verflixte Aufgabe!
>
Jo, Mathe ist schwer ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
>
> LG
> heinze
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 17.12.2012 | | Autor: | heinze |
Wir haben in der vorlesung leider nichts definiert zu Definitionsbereich und Wertebereich. Wir hatten lediglich ein Beispiel zur Augensumme beim zweifachen Würfelwurf.
Ich habe nochmal nachgeschaut. Definitionsbereich ist die Ereignismenge des Zufallsexperimentes. Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen.
Okay, ich habs verstanden, dass für 4 keine Permutationen existieren, logisches Denken hilft manchmal ;)
Für X=0 gibt es 16 Möglichkeiten
Für X=1 gibt es 15 Möglichkeiten
Für X=2 gibt es 78 Möglichkeiten
Für X=3 gibt es 10 Möglichkeiten
Für X=5 gibt es 1 Möglichkeit
Das Mit Definitionsbereich und Wertebereich ist mir noch nicht klar. Ach ja, falls keine Verteilung zu finden ist, geht auch eine Tabelle mit:
w X(w)
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Wir haben in der vorlesung leider nichts definiert zu
> Definitionsbereich und Wertebereich. Wir hatten lediglich
> ein Beispiel zur Augensumme beim zweifachen Würfelwurf.
Ja, aber dass eine ZV eine messbare Funktion von [mm] \Omega\mapsto \Omega' [/mm] ist, wobei [mm] \Omega [/mm] die Ergebnismenge eines Wahrscheinlichkeitsraums und [mm] \Omega' [/mm] die Ergebnismenge eines Messraum ist, müsst ihr doch mal gehabt haben?
>
> Ich habe nochmal nachgeschaut. Definitionsbereich ist die
> Ereignismenge des Zufallsexperimentes. Wertebereich ist die
Ja. EDIT: Nicht die Ereignismenge, sondern nur die Menge der Elementarereignisse [mm] \Omega. [/mm] Die Ereignismenge ist ja die Sigma-Algebra des Warscheinlichkeitsraums.
> Menge der reellen Zahlen.
Hm,dann müsstest du den oben erwähnten Messraum über den reellen Zahlen definieren. Hier hätte ich doch eher [mm] \Omega'=\{0,1,2,3,4,5\} [/mm] genommen, das wird angenehmer.
>
> Okay, ich habs verstanden, dass für 4 keine Permutationen
> existieren, logisches Denken hilft manchmal ;)
>
> Für X=0 gibt es 16 Möglichkeiten
> Für X=1 gibt es 15 Möglichkeiten
> Für X=2 gibt es 78 Möglichkeiten
> Für X=3 gibt es 10 Möglichkeiten
> Für X=5 gibt es 1 Möglichkeit
Ok, das ging jetzt schnell, darf ich fragen, wie du das so schnell rausgekriegt hast? (Ich weiß nicht mal, ob's stimmt.)
>
> Das Mit Definitionsbereich und Wertebereich ist mir noch
> nicht klar. Ach ja, falls keine Verteilung zu finden ist,
Was genau? Ich kenne leider deinen Mathebackground nicht. Ich nehme an Universität, da du die Aufgabe im Hochschulforum gepostet hast?
Falls nicht, ignoriere ab hier und frag nochmal nach.
Die ZV bildet den Ergebnisraum [mm] \Omega [/mm] des Ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsraumes [mm] (\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P) [/mm] auf einen anderen Ergebnisraum eines Messraumes ab. Auf dem ursprünglichen W'raum hat man ein (W-)Maß P (welches ist das hier konkret?). Damit der Messraum [mm] (\Omega',\mathcal{P}(\Omega')) [/mm] (auf dessen Ergebnisraum X abbildet) zum Maßraum wird, braucht man auch ein Maß. Man nimmt das durch X transportierte Maß. Das funktioniert wenn X messbar ist (,d.h., dass jedes Urbild unter X eines Elements von [mm] \mathcal{P}(\Omega') [/mm] sich in [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] befindet.)
> geht auch eine Tabelle mit:
>
> w X(w)
>
>
>
> LG
> heinze
Ja, das kannst du leicht angeben, wenn du dir überlegt hast, welches Maß auf dem ursprünglichen W'keitsraum verwendet wird. (ein ganz einfaches)
Dann "misst" du die W'keit von X=k, indem du das Urbild von k (das in [mm] \mathcal{P}(\Omega)) [/mm] liegt) mit diesem Maß misst.
Ich gebe zu, das hört sich kompliziert an, ist aber einfach, wenn du das Maß auf dem ursprünglichen W'raum kennst du deine Angaben der Möglichkeiten stimmen.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Di 18.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> > Für X=0 gibt es 16 Möglichkeiten
> > Für X=1 gibt es 15 Möglichkeiten
> > Für X=2 gibt es 78 Möglichkeiten
> > Für X=3 gibt es 10 Möglichkeiten
> > Für X=5 gibt es 1 Möglichkeit
>
> Ok, das ging jetzt schnell, darf ich fragen, wie du das so
> schnell rausgekriegt hast? (Ich weiß nicht mal, ob's
> stimmt.)
Es stimmt nicht. Z.B. besteht $(X=2)$ aus 20 Elementarereignssen:
| 1: | [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
| | 2: | [1,] 2 3 1 4 5
| | 3: | [2,] 3 1 2 4 5
| | 4: | [3,] 1 3 4 2 5
| | 5: | [4,] 3 2 4 1 5
| | 6: | [5,] 1 4 2 3 5
| | 7: | [6,] 2 4 3 1 5
| | 8: | [7,] 4 2 1 3 5
| | 9: | [8,] 4 1 3 2 5
| | 10: | [9,] 1 2 4 5 3
| | 11: | [10,] 1 4 3 5 2
| | 12: | [11,] 4 2 3 5 1
| | 13: | [12,] 1 2 5 3 4
| | 14: | [13,] 1 3 5 4 2
| | 15: | [14,] 3 2 5 4 1
| | 16: | [15,] 1 5 3 2 4
| | 17: | [16,] 2 5 3 4 1
| | 18: | [17,] 1 5 2 4 3
| | 19: | [18,] 5 2 3 1 4
| | 20: | [19,] 5 1 3 4 2
| | 21: | [20,] 5 2 1 4 3
|
vg Luis
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