Zufallsvariable hat Bin.Vert. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 Di 09.11.2004 | | Autor: | roy |
Hallo Ihr!
Ich habe folgendes Problem und wäre froh, wenn mir jemand von euch weiterhelfen könnte. Ich schildere euch einfach mal die Aufgabe:
"Sei E eine endliche Menge, p eine Zähldichte auf E, n eine natürliche Zahl und X=(X index a) mit a Element von E eine Zufallsvariable mit Werten in H index n mit (H index n):=Menge aller k-Vektoren (k index a mit a aus E) aus den positiven ganzen Zahlen hoch E, für die gilt: Summe aller k (index a) mit a aus E = n und Multinomialverteilung M (index n,p).
Zeigen Sie: Für jedes a aus E hat X (index a) die Binomialverteilung B (index n, p(a))."
Ich hoffe, da kommt alles so rüber, wie ich es meine. Ich wäre froh, wenn ihr mir weiterhelfen könntet und mir zeigt, wie man beweist, dass jedes X (index a) die Binomialverteilung hat.
Danke schon einmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Di 09.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo roy!
Die Aufgabe ist zwar nicht schwierig, aber sie hat mich trotzdem unnötig Zeit gekostet, weil du sie unleserlich notiert hast. Bitte benutze in Zukunft unseren Formel-Editor.
Der Einfachheit halber sei [mm] $E=\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und $a=j$.
Dann gilt:
[mm] $P(X_j=i)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{{{(i_1,\ldots,i_k) \in \IN_0^k} \atop {i_j=i}}: \sum\limits_{l=1}^k i_l=n} \frac{n!}{i_1! \cdot \ldots \cdot i_{j-1}! \cdot i_j! \cdot i_{j+1}! \cdot \ldots \cdot i_k!} p_1^{i_1} \cdot \ldots \cdot p_{j-1}^{i_{j-1}} \cdot p_j^{i_j} \cdot p_{j+1}^{i_{j+1}} \cdot \ldots \cdot p_k^{i_k}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n!}{i!} \cdot p_j^i \sum\limits_{{{(i_1,\ldots,i_k) \in \IN_0^k} \atop {i_j=i}}: \sum\limits_{l=1}^k i_l=n} \frac{1}{i_1! \cdot \ldots \cdot i_{j-1}! \cdot i_{j+1}! \cdot \ldots \cdot i_k!} p_1^{i_1} \cdot \ldots \cdot p_{j-1}^{i_{j-1}} \cdot p_{j+1}^{i_{j+1}} \cdot \ldots \cdot p_k^{i_k}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n!}{i!} \cdot p_j^i \sum\limits_{(i_1,\ldots, i_{j-1}, \hat{i_j}, i_{j+1},i_k) \in \IN_0^{k-1}: \sum\limits_{{l=1} \atop {l \ne j}}^n = n-i } \frac{1}{i_1! \cdot \ldots \cdot i_{j-1}! \cdot i_{j+1}! \cdot \ldots \cdot i_k!} p_1^{i_1} \cdot \ldots \cdot p_{j-1}^{i_{j-1}} \cdot p_{j+1}^{i_{j+1}} \cdot \ldots \cdot p_k^{i_k}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n!}{i!\cdot (n-i)!} \cdot p_j^i \sum\limits_{(i_1,\ldots, i_{j-1}, \hat{i_j}, i_{j+1},i_k) \in \IN_0^{k-1}: \sum\limits_{{l=1} \atop {l \ne j}}^n = n-i } \frac{(n-i)!}{i_1! \cdot \ldots \cdot i_{j-1}! \cdot i_{j+1}! \cdot \ldots \cdot i_k!} p_1^{i_1} \cdot \ldots \cdot p_{j-1}^{i_{j-1}} \cdot p_{j+1}^{i_{j+1}} \cdot \ldots \cdot p_k^{i_k}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n!}{i!\cdot (n-i)!} \cdot p_j^i \cdot (1-p_j)^{n-i} \sum\limits_{(i_1,\ldots, i_{j-1}, \hat{i_j}, i_{j+1},i_k) \in \IN_0^{k-1}: \sum\limits_{{l=1} \atop {l \ne j}}^n = n-i } \frac{(n-i)!}{i_1! \cdot \ldots \cdot i_{j-1}! \cdot i_{j+1}! \cdot \ldots \cdot i_k!} \left( \frac{p_1}{1-p_j}\right) ^{i_1} \cdot \ldots \cdot \left( \frac{p_{j-1}}{1-p_j} \right)^{i_{j-1}} \cdot \left( \frac{p_{j+1}}{1-p_j} \right)^{i_{j+1}} \cdot \ldots \cdot \left(\frac{p_k}{1-p_j}\right)^{i_k}$
[/mm]
$= {n [mm] \choose [/mm] i} [mm] p_j^i \cdot (1-p_j)^{n-i}$,
[/mm]
was zu zeigen war.
(Unter der Summe steht teilweise [mm] $\hat{i_j}$, [/mm] was man schlecht lesen kann. Es soll bedeuten, dass [mm] $i_j$ [/mm] ausgelassen wird. Klicke auf die Formeln, wenn du sie größer lesen willst.
Es gibt sicherlich noch ein paar Punkte des Beweises, über die du noch einmal nachdenken solltest. Zum Beispiel, warum die letzte Summe gleich $1$ ist.
Mach dir das bitte klar und frage gegebenenfalls nach... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Sa 13.11.2004 | | Autor: | roy |
Hallo Stefan!
Finde ich voll gut von dir, dass du so schnell geantwortet hast. Ich hätte ehrlich gesagt nicht damit gerechnet, dass sich da so schnell was tut.
Wenn du mal wieder Zeit und Lust hast, kannst du mir dann vieleicht noch erläutern, wie du auf diesen Ansatz kommst und ob es unter Umständen noch andere Lösungsmöglichkeiten gibt?
Eilt aber nicht!
Danke nochmals!
Gruß Roy
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