Zufallsvariable reell? W-Maß ? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:35 Fr 24.06.2016 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $X$ eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal{A},P) [/mm] $ und $ F $ ihre Verteilungsfunktion. Man zeige, dass für alle $ x [mm] \in \IR [/mm] $ gilt:
$ P(X=x) = F(x) - [mm] \lim_ [/mm] {h [mm] \to [/mm] 0+}F(x-h)$ |
Hallo,
ich höre momentan Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich hab die Klausur vor langer Zeit aus gesundheitlichen Gründen nicht ablegen können und wiederhole gerade den Stoff. Nun bin ich bei obiger Aufgabe etwas unsicher bzgl der Zufallsvariablen $ X$. Kann ich denn voraussetzen, dass $ X$ eine reellwertige Zufallsvariable ist? Immerhin nimmt die Zufallsvariable $ X $ ja wegen der Wahrscheinlichkeitsfunktion $ P(X = x)$ nur reelle Werte an. Ich möchte jedenfalls zur Lösung der Aufgabe folgende Gleichung nutzen
$ F(x) = P(X [mm] \leq [/mm] x) = [mm] P_X(]-\infty,x])$
[/mm]
Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich das ohne weiteres voraussetzen darf. Muss ich zuerst das Wahrscheinlichkeitsmaß $ [mm] P_X$ [/mm] der Zufallsvariablen $ X $ konstruieren, um obige Gleichheit nutzen zu dürfen? Oder reicht bereits, dass die Zufallsvariable $ X $ reelle Werte annimmt? Unter welchen Voraussetzungen gilt denn allgemein, dass
$ P(X [mm] \leq [/mm] x) = [mm] P_X(]-\infty,x])$ [/mm] ?
Freue mich über Hinweise!
Vielen Dank.
LG,
CS
|
|
| |
|
Hiho,
> Kann ich denn voraussetzen, dass [mm]X[/mm] eine reellwertige Zufallsvariable ist? Immerhin nimmt die Zufallsvariable [mm]X[/mm] ja wegen der Wahrscheinlichkeitsfunktion
> [mm]P(X = x)[/mm] nur reelle Werte an.
Genau. So wie die Aufgabe gestellt ist, kannst du das annehmen. Im Allgemeinen nehmen ZV reelle Werte an, gerade weil die Verteilungsfunktion ja definiert ist als $F(x) = P(X [mm] \le [/mm] x)$, was für andere Werte als aus [mm] $\IR$ [/mm] gar keinen Sinn macht.
Ein Blick auf Eure Definition von "Zufallsvariable" ist da sicherlich auch hilfreich und da steht bestimmt sowas wie "Eine Zufallsvariable ist eine meßbare Abbildung [mm] $\Omega \to \IR$". [/mm]
Ich möchte jedenfalls zur Lösung der Aufgabe folgende Gleichung nutzen
>
> [mm]F(x) = P(X \leq x) = P_X(]-\infty,x])[/mm]
Na dann: Auf auf.
> Unter welchen Voraussetzungen gilt denn allgemein, dass
>
> [mm]P(X \leq x) = P_X(]-\infty,x])[/mm] ?
Da braucht es gar keine Voraussetzungen, das ist eine Definition!
Das Bildmaß [mm] P_X [/mm] ist definiert als:
[mm] $P_X(A) [/mm] = [mm] P\left(X^{-1}(A)\right)$, [/mm] was zu obigem Ausdruck führt.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Fr 24.06.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Gono!
vielen Dank für deine Hilfe.
> Hiho,
>
> > Kann ich denn voraussetzen, dass [mm]X[/mm] eine reellwertige
> Zufallsvariable ist? Immerhin nimmt die Zufallsvariable [mm]X[/mm]
> ja wegen der Wahrscheinlichkeitsfunktion
> > [mm]P(X = x)[/mm] nur reelle Werte an.
>
> Genau. So wie die Aufgabe gestellt ist, kannst du das
> annehmen. Im Allgemeinen nehmen ZV reelle Werte an, gerade
> weil die Verteilungsfunktion ja definiert ist als [mm]F(x) = P(X \le x)[/mm],
> was für andere Werte als aus [mm]\IR[/mm] gar keinen Sinn macht.
Guter Hinweis! Danke.
> Ein Blick auf Eure Definition von "Zufallsvariable" ist da
> sicherlich auch hilfreich und da steht bestimmt sowas wie
> "Eine Zufallsvariable ist eine meßbare Abbildung [mm]\Omega \to \IR[/mm]".
>
Ja, für die reellen Zufallsvariablen. Da ich nicht ganz sicher war, ob das in meiner Aufgabe der Fall ist, hab ich mich an die allgemeine Definition $ [mm] \Omega \to \Omega'$ [/mm] gehalten.
> > Unter welchen Voraussetzungen gilt denn allgemein, dass
> >
> > [mm]P(X \leq x) = P_X(]-\infty,x])[/mm] ?
>
> Da braucht es gar keine Voraussetzungen, das ist eine
> Definition!
> Das Bildmaß [mm]P_X[/mm] ist definiert als:
>
> [mm]P_X(A) = P\left(X^{-1}(A)\right)[/mm], was zu obigem Ausdruck
> führt.
Das erschließt sich mir noch nicht ganz. Ich verstehe nicht, wie $ [mm] P_X(A) [/mm] = [mm] P\left(X^{-1}(A)\right) [/mm] $ zu [mm]P(X \leq x) = P_X(]-\infty,x])[/mm] führt. Ich hab den Eindruck ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Folgt das einfach aus der Tatsache dass die Urbildmenge $ [mm] X^{-1}(]\-\infty,x]) [/mm] $ gerade $ [mm] \{X \leq x\} =\{ \omega \in \Omega : X(\omega) \leq x \} [/mm] $ ist?
>
> Gruß,
> Gono
Vielen Dank!
LG,
CS
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Fr 24.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gono!
>
> vielen Dank für deine Hilfe.
>
> > Hiho,
> >
> > > Kann ich denn voraussetzen, dass [mm]X[/mm] eine reellwertige
> > Zufallsvariable ist? Immerhin nimmt die Zufallsvariable [mm]X[/mm]
> > ja wegen der Wahrscheinlichkeitsfunktion
> > > [mm]P(X = x)[/mm] nur reelle Werte an.
> >
> > Genau. So wie die Aufgabe gestellt ist, kannst du das
> > annehmen. Im Allgemeinen nehmen ZV reelle Werte an, gerade
> > weil die Verteilungsfunktion ja definiert ist als [mm]F(x) = P(X \le x)[/mm],
> > was für andere Werte als aus [mm]\IR[/mm] gar keinen Sinn macht.
>
> Guter Hinweis! Danke.
>
> > Ein Blick auf Eure Definition von "Zufallsvariable" ist da
> > sicherlich auch hilfreich und da steht bestimmt sowas wie
> > "Eine Zufallsvariable ist eine meßbare Abbildung [mm]\Omega \to \IR[/mm]".
> >
>
> Ja, für die reellen Zufallsvariablen. Da ich nicht ganz
> sicher war, ob das in meiner Aufgabe der Fall ist, hab ich
> mich an die allgemeine Definition [mm]\Omega \to \Omega'[/mm]
> gehalten.
>
>
>
> > > Unter welchen Voraussetzungen gilt denn allgemein, dass
> > >
> > > [mm]P(X \leq x) = P_X(]-\infty,x])[/mm] ?
> >
> > Da braucht es gar keine Voraussetzungen, das ist eine
> > Definition!
>
>
>
> > Das Bildmaß [mm]P_X[/mm] ist definiert als:
> >
> > [mm]P_X(A) = P\left(X^{-1}(A)\right)[/mm], was zu obigem Ausdruck
> > führt.
>
> Das erschließt sich mir noch nicht ganz. Ich verstehe
> nicht, wie [mm]P_X(A) = P\left(X^{-1}(A)\right)[/mm] zu [mm]P(X \leq x) = P_X(]-\infty,x])[/mm]
> führt. Ich hab den Eindruck ich sehe den Wald vor lauter
> Bäumen nicht.
>
> Folgt das einfach aus der Tatsache dass die Urbildmenge
> [mm]X^{-1}(]\-\infty,x])[/mm] gerade [mm]\{X \leq x\} =\{ \omega \in \Omega : X(\omega) \leq x \}[/mm]
> ist?
ja
fred
>
> >
> > Gruß,
> > Gono
>
> Vielen Dank!
> LG,
> CS
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Fr 24.06.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred!
vielen Dank für die Rückmeldung! Danke euch beiden.
LG,
CS
|
|
|
|
