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| Aufgabe | Berechnen sie folgendes bestimtes Integral:
[mm] \integral_{0}^{3} \bruch{12x^3-48x}{\wurzel[]{x^2+16}}dx
[/mm]
Substituieren sie den Radikanden. |
Leider ist mein Wissen über Integration gering, daher habe ich Schwierigkeiten eine mir vorliegende Lösung nachzuvollziehen. Evt. kann mir ein paar Grundsätzlichkeiten anhand dieses Beispieles erklären:
[mm] \integral \bruch{12x^3-48x}{\wurzel[]{x^2+16}}dx
[/mm]
In der Lösung wird nun wie folgt vorgegangen:
[mm] \integral \bruch{12x^3-48x}{\wurzel[]{x^2+16}}dx [/mm]
= [mm] \integral \bruch{6y-120}{\wurzel[]{y}}dy [/mm]
= 4 [mm] \wurzel[]{yy} [/mm] - 240 [mm] \wurzel[]{y}
[/mm]
= [mm] (4x^2-176)\wurzel[]{x^2+16}
[/mm]
Ich sehe noch, dass [mm] x^2+16 [/mm] am Anfang durch y = [mm] x^2+16 [/mm] substituiert wird, aber der Rest ist nicht nachvollziebar.
Für jede Form von Hilfe/Tipps wäre ich sehr dankbar.
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Hi xyfreeman,
ich habe mal einen Zwischenschritt eingefügt, mit dem es vielleicht klarer wird. Wenn nicht, versuch mal 2 Integrale daraus zu machen und die Faktoren 6 und 120 aus den Integralen herauszuziehen.
Gruss,
Michael
[mm]\integral \bruch{12x^3-48x}{\wurzel[]{x^2+16}}dx[/mm]
= [mm]\integral \bruch{6y-120}{\wurzel[]{y}}dy[/mm]
= [mm]\integral \bruch{6y}{\wurzel[]{y}} - \bruch{120}{\wurzel[]{y}} dy[/mm]
= 4 [mm]\wurzel[]{yy}[/mm] - 240 [mm]\wurzel[]{y}[/mm]
= ...
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Um ehrlich zu sein weis ich so noch immer nicht, wie die 120 entsteht. Ich schätze, für [mm] 12x^3 [/mm] setzen wir y = [mm] 2x^3, [/mm] wobei ich mich hier nach der Begründung frage.
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Achso! Ich dachte, bis zu dem angesprochenen Zwischenschritt kommst Du klar, deswegen habe ich nichts zu den vorherigen Schritten geschrieben.
Zunächst wird da substituiert, und zwar, wie richtig erkannt, mit $y = [mm] x^2 [/mm] + 16$. Somit ist
> Ich schätze, für $ [mm] 12x^3 [/mm] $ setzen wir y = $ [mm] 2x^3, [/mm] $
schlichtweg falsch. Verstehst Du denn diesen Substitutionsschritt, also warum aus $ [mm] \integral \bruch{12x^3-48x}{\wurzel[]{x^2+16}}dx [/mm] $ letztlich $ [mm] \integral \bruch{6y-120}{\wurzel[]{y}}dy [/mm] $ wird? Wenn nicht, nochmal das Thema "Integration durch Substitution" anschauen bzw. hier nachfragen.
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Exakt das ist mein Problem und eigentlich wollte ich mit meiner Frage auch darauf hinaus! Die darauf folgenden Schritte habe ich mehr aus Gründen der Vollständigkeit mit angegeben.
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Hallo xyfreeman,
da wird ein bisschen "getrickst" beim Umformen 
Du hast: [mm] $\int{\frac{12x^3-48x}{\sqrt{x^2+16}} \ dx}=\int{\frac{12x\cdot{}(x^2-4)}{\sqrt{x^2+16}} \ dx}$
[/mm]
Nun wird substituiert: [mm] $\blue{y=y(x):=x^2+16}$
[/mm]
Dann ist [mm] $y'=\frac{dy}{dx}=2x$, [/mm] also [mm] $\red{dx=\frac{dy}{2x}}$
[/mm]
Wenn du das mal im Integral ersetzt, bekommst du:
[mm] $\int{\frac{12x\cdot{}(x^2-4)}{\sqrt{\blue{x^2+16}}} \ \red{dx}}=\int{\frac{12x\cdot{}(x^2-4)}{\sqrt{\blue{y}}} \ \red{\frac{dy}{2x}}}$
[/mm]
Das kannst du kürzen: ($12x$ mit [mm] $\frac{1}{2x}$)
[/mm]
[mm] $=\int{\frac{6\cdot{}(x^2-4)}{\sqrt{y}} \ dy}$
[/mm]
Nun müssen wir noch das verbleibende [mm] $x^2-4$ [/mm] in $y$ ausdrücken.
Wir hatten ja substituiert: [mm] $y=x^2+16$
[/mm]
Da subtrahiere mal 20 auf beiden Seiten:
[mm] $\Rightarrow y-20=x^2+16-20=x^2-4$
[/mm]
Also können wir auch das ersetzen:
[mm] $\int{\frac{6\cdot{}(x^2-4)}{\sqrt{y}} \ dy}=\int{\frac{6\cdot{}(y-20)}{\sqrt{y}} \ dy}=\int{\frac{6y-120}{\sqrt{y}} \ dy}$
[/mm]
voilà
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mi 20.08.2008 | | Autor: | xyfreeman |
Mir fehlt zwar leider der mathematische Hintergrund um zu wissen, warum wir das exakt so tun, aber für die Anwendung reicht es jetzt. Dankeschön! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
um es dir ein bisschen anschaulicher zu machen:
Wenn du in deinem Beispiel das [mm] $x^2+16$ [/mm] durch y ersetzt, und dann steht da noch ein dx, d.h. du willst über x integrieren, macht das ja kein Sinn. Du willst ja hinterher das so umschreiben, so dass du über y integrieren kannst. D.h. du willst doch eigentlich am Ende des Integrals ein dy da stehen haben. Jetzt kann man nur leider nicht einfach sagen: dx=dy, denn es ist ja so:
Du stellst die Gleichung [mm] $y=x^2+16$ [/mm] auf. Das kann man auch schrieben als [mm] $y(x)=x^2+16$. [/mm] Wenn man das jetzt nach x ableitet, ergibt sich ja $y'(x)=2x$. Die Ableitung $y'$ kann man jetzt auch schrieben als [mm] $\frac{dy}{dx}$ [/mm] Das kommt vom Differenzen-Quotienten: Falls du dich daran erinnst, wie ihr die Ableitung bestimmt eingeführt habt, dann ging das ja über den Quotienten:
[mm] $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ [/mm]
Für die Differenz schreibt man auch gerne
[mm] $y_2-y_1=\Delta [/mm] y$, also ergibt sich der Bruch zu:;
[mm] $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
[/mm]
Bei der Ableitung lässt man jetzt aber [mm] y_2 [/mm] gegen [mm] y_1 [/mm] gehen, so dass die Differenz, das [mm] "$\Delta$" [/mm] ziemlich klein wird. Deshalb ersetzt man das [mm] $\Delta$ [/mm] durch ein kleines "d". So steht dann da hinterher:
[mm] $\frac{dy}{dx}=y'(x)$
[/mm]
Und wenn man sich das jetzt anguckt, dann steht da letztendlich bei der Ableitung:
[mm] $\frac{dy}{dx}=2x$, [/mm] und das kann man "wie gewohnt" umstellen zu
[mm] $dx=\frac{dy}{2x}$. [/mm] Und jetzt kann man das dx in deinem Integral durch das [mm] $\frac{dy}{2x}$ [/mm] ersetzen. D.h. jetzt steht da auch endlich ein "dy", so dass man auch über das neu eingeführte y integrieren kann.
Ich hoffe, dir ist das jetzt ein bisschen klarer, was du da machst, und vor allem, warum.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 20.08.2008 | | Autor: | xyfreeman |
Ziehe ich zurück.
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Stecke schon wieder fest:
Habe nun
[mm] \integral 6y^{3/2} [/mm] - [mm] \bruch{120} \wurzel{y}
[/mm]
weis aber nicht, wie ich weiter machen soll. Keine meiner Ideen bringt mich zum nächsten Zwischenschritt.
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Hallo nochmal,
> Stecke schon wieder fest:
>
> Habe nun
>
> [mm]\integral 6y^{3/2}[/mm] - [mm]\bruch{120} \wurzel{y}[/mm]
Wie kommst du denn auf diesen ersten Ausdruck mit dem [mm] $y^{\frac{3}{2}}$??
[/mm]
Wir hatten doch oben [mm] $\int{\left(\frac{6y-120}{\sqrt{y}}\right) \ dy}$ [/mm] zu berechnen.
Das kannst du als Summe zweier Integrale schreiben:
[mm] $=\int{\frac{6y}{\sqrt{y}} \ dy} [/mm] \ - \ [mm] \int{\frac{120}{\sqrt{y}} \ dy}$
[/mm]
Konstante rausziehen und [mm] $\frac{1}{\sqrt{y}}=y^{-\frac{1}{2}}$ [/mm] schreiben
[mm] $=6\cdot{}\int{\left(y\cdot{}y^{-\frac{1}{2}}\right) \ dy} [/mm] \ - \ [mm] 120\cdot{}\int{y^{-\frac{1}{2}} \ dy}$
[/mm]
[mm] $=6\cdot{}\int{y^{\frac{1}{2}} \ dy} [/mm] \ - \ [mm] 120\cdot{}\int{y^{-\frac{1}{2}} \ dy}$
[/mm]
Das ist doch nun elementar integrierbar.
Mach' das mal, dann resubstituieren und die Grenzen einsetzen ...
>
> weis aber nicht, wie ich weiter machen soll. Keine meiner
> Ideen
Welche denn? Immer die Ideen mit posten, dann weiß der Antwortgeber, wo er ansetzen kann/soll ...
> bringt mich zum nächsten Zwischenschritt.
Gruß
schachuzipus
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