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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Welchen Gewinn [mm]\Pi^{c}[/mm] macht jede Firma bei Cournot Wettbewerb? |
Hallo,
Ich habe da ein kleines Problem. Ich komme irgendwie nicht auf die richtige Lösung. Weiß auch nicht ob ich das hier an der richtigen Stelle gepostet habe. Wenn ja sry.
Es handelt sich hierbei um ein sog. n-seller game.
Formal geht man da so ran:
[mm]\max_{q_1} \Pi_1=p(Q)q_1-cq_1[/mm]
d.f. der Output-Level der ersten Firma in Abhängigkeit von den anderen Firmen:
[mm]\max_{q_1} \Pi_1=[a-b(\summe_{i=1}^{N}q_i)]q_1-cq_1[/mm]
[mm]0=\bruch{\partial \Pi_1}{\partial q_1}=a-2bq_1-b \summe_{i=1}^{N}q_i-c[/mm]
d.f. die Reaktionsfunktion:
[mm]R_1 (q_2,q_3,...,q_N)=\bruch{a-c}{2b}-\bruch{1}{2} \summe_{i=2}^{N}q_i[/mm]
--> da Cournot-Mengenwettbewerb und gleiche Kostenfunktionen folgt hier [mm]q=q_i[/mm]
[mm]q=\bruch{a-c}{2b}-\bruch{1}{2}(N-1)q[/mm]
Ein bissl umstellen usw. und so fort (schenke ich mir mal)... =D
[mm]q^c=\bruch{a-c}{b(N+1)}[/mm]
Bis hier hin müsste es soweit richtig sein, da die Lösung auch mit der vom Prof übereinstimmt.
So nun zu meinem eigentlichen Problem: [mm]\Pi^c[/mm]:
Theoretisch müsste man doch das [mm]q^c[/mm] einfach nur ich die Gewinnfunktion: [mm]\Pi^c=Umsatz-Kosten[/mm] also [mm]\Pi^c=p(Q)q^c-cq^c[/mm] einsetzen.
Aber egal wie ich es anstelle ich komme einfach nicht auf seine Lösung, die im Übrigen auch in div. Büchern so angegeben ist.
Lösung: [mm]\Pi^c=\bruch{(a-c)^2}{b(N+1)^2}[/mm]
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Danke und Beste Grüße
Markus
PS: ...und bitte nicht gleich wegklicken es sieht nur etwas kompliziert aus, was es eigentlich garnicht ist. Es geht wirklich nur um das reine mathematische Umstellen beim letzten Schritt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo ragsupporter,
Du hast Recht: es sieht viel schlimmer aus, als es ist, wenn man vom Thema keine Ahnung hat. Mir geht das leider so.
Die Umformung kann ich trotzdem zeigen.
Allerdings musste ich zwei Dinge zugrundelegen:
1) Das hochgestellte "[mm]^c[/mm]" ist kein Exponent, sondern ein Index. Es dient nur der Unterscheidung von einer Variable gleichen Namens, die diesen Index nicht trägt.
2) [mm] p(Q)=\left(a-b\summe_{i=1}^{N}q_i \right) [/mm] mit [mm] q_i=q=q^c
[/mm]
Die von Dir an dieser Stelle benutzten eckigen Klammern haben keine besondere Bedeutung wie Gaußklammer, Betragsklammer o.ä.
Stimmts bis hier?
Dann geht der Rest einfach.
[mm] \Pi^c=p(Q)q^c\blue{-c}q^c=(p(Q)\blue{-c})q^c=p(Q)=(a-b\left(\summe_{i=1}^{N}q^c\right)\blue{-c})q^c=(a\blue{-c}-bNq^c)q^c=\left((a-c)-\red{b}N\bruch{(a-c)}{\red{b}(N+1)}\right)\left(\bruch{(a-c)}{b(N+1)}\right)
[/mm]
Jetzt noch in der linken Klammer alles auf einen Nenner bringen:
[mm] =\left(\bruch{(a-c)(N+1)-N(a-c)}{(N+1)}\right)\left(\bruch{(a-c)}{b(N+1)}\right)=\left(\bruch{(a-c)}{(N+1)}\right)\left(\bruch{(a-c)}{b(N+1)}\right)=\ \bruch{(a-c)^2}{b(N+1)^2}
[/mm]
was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
reverend
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Vielen Dank.
...und ja das c ist ein index. Steht für Cournot. =)
Beste Grüße
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Mo 29.12.2008 | | Autor: | reverend |
Das dachte ich mir (c für Cournot).
Trotzdem ist "rechts oben" kein guter Ort für einen Index. Nach allgemeiner Konvention ist dieser Platz für Exponenten reserviert, und damit für eine festgelegte Rechenoperation.
Andererseits kannst du ja nichts dafür, wenn das in Deiner Fachrichtung (oder auch nur von Deinem Prof) anders praktiziert wird. Ich finde es unschön und bin damit bestimmt nicht alleine...
Alles Gute,
rev
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