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Hallo, ich schreibe gerade eine Ausarbeitung über folgende Sätze aus der Zahlentheorie:
Das Lemma von Gauss (cont(fg)=cont(f)cont(g)) und daraus folgernd den Satz über rationale Nullstellen,
Theorem von Mason-Stothers und daraus folgernd Fermat´s Theorem für Polynome aus C[X] sowie deren Verallgemeinerungen in Z also die abc-vermutung und der Große fermatsche Satz sowie das Asymptotische Fermat theorem.
Nun habe ich das ganze Inhaltlich soweit ganz gut ausgearbeitet nur möchte ich gerne noch die ein oder andere Anwendung erwähnen, zum Beispiel eine interessante Aufgabe oder generell was man damit anfangen kann, und ich weiß leider auch nicht wie der Zusammenhang zwischen dem Lemma von Gauss und dem Satz über rationale Nullstellen mit dem Rest herzustellen ist.
Vielleicht könnt ihr mir ein paar Anwendungen die euch bekannt sind und nicht zu tief gehen empfehlen oder Quellen wo ich etwas über die Anwendung und die mathematische Einordnung dieser Sätze nachlesen kann.
Die einzige mir bekannte Anwendung der Zahlentheorie ist die Kryptographie, jedoch habe ich dort noch nichts gefunden wo speziell die von mir beleuchteten Sätze Einfluss nehmen.
Ich freue mich auf eure Antworten schöne Grüße Hausi
Ich habe dies Frage auch hier gepostet: http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=183738
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Wie du wahrscheinlich weißt, gibt es für Polynome ab 5. Grades keine allgemeine Lösungsformel mehr, und Polynome 3. und 4. Grades haben allgemein recht "unhandliche" Lösungsformeln, mit deren Hilfe z.B. ganzzahlige oder rationale Lösungen oft als Summe komplexer Zahlen dargestellt werden und in ihrer Einfachheit gar nicht mehr erkannt werden können. Soll man beispielsweise das Polynom
[mm] x^3-8x^2+16x-8
[/mm]
lösen, indem man den ganzen Formelapparat auffährt? Da ist es doch viel naheliegender, erst mal die Existenz einer rationalen Nullstelle zu postulieren. Diese kann dann nur ein ganzzahliger Teiler von 8 sein, also [mm] \pm1,\pm2, \pm4, \pm8. [/mm] Durch Ausprobieren findet man sofort als Nullstelle x=2.
Nun führt man die Polynomdivision durch x-2 durch und erhält:
[mm] (x^3-8x^2+16x-8):(x-2)=x^2-6x+4 [/mm] und mit Hilfe der p-q-Formel daraus die weiteren Nullstellen [mm] x=3\pm\wurzel5.
[/mm]
Im Anhang noch mal ein Polynom, das zusätzlich noch durch Substitution gelöst wird.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: DOC) [nicht öffentlich]
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