Zustandsraummodell aufstellen < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Sa 19.01.2013 | | Autor: | StefanP |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum Aufstellen von Zustandsraummodellen. Ich habe folgendes lineares DGL-System 2. Ordnung gegeben:
[mm]\ddot{x}_{p} = 0[/mm]
[mm]\ddot{y}_{p} = v\dot{\alpha}[/mm]
[mm]\ddot{\alpha} = \frac{v}{c}\ \dot{\gamma}[/mm]
[mm]\ddot{\beta} = \frac{mgb}{I_{AX}+mb^2}\ \beta + \frac{mb\ v}{I_{AX}+mb^2}\ \dot{\alpha} + \frac{mab\ v}{c(I_{AX}+mb^2)}\ \dot{\gamma}[/mm]
Gesucht ist das Zustandsraummodell:
[mm]\dot{x}(t) = Ax(t)+bu(t),\ \ x(0) = x_{0}[/mm]
[mm]y(t) = c^Tu(t)[/mm]
Mit dem Ausgang [mm]y(t) = \beta[/mm] und dem Eingang [mm]u(t) = \gamma[/mm]. Mein Problem dabei ist, dass in dem DGL-System die Ableitung der Eingangsgröße vorkommt.
Man könnte jetzt die ersten beiden Gleichungen außen vor lassen, die 3. einmal integrieren und in die 4. einsetzen. Dann hat man nur noch eine DGL übrig und kann die Regelungsnormalform aus deren Koeffizienten ablesen. Das führt auf ein korrektes Modell mit den Zustandsvariablen [mm]\beta[/mm] und [mm]\dot{\beta}[/mm].
Das Problem damit ist nur, dass ich später auch den Verlauf aller anderen Größen aus dem Modell berechnen möchte, ich brauche also als Zustand [mm]x = (x_{p},\ y_{p},\ \alpha,\ \beta,\ \dot{x}_{p},\ \dot{y}_{p},\ \dot{\alpha},\ \dot{\beta})^T[/mm].
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man in dem Fall vorgehen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 So 20.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo StefanP,
willkommen hier im Forum.
Solch ein Problem wie von Dir beschrieben, taucht häufiger mal auf und es gibt eine Lösungsmethode dafür, nämlich, die alle zweimal abgeleiteten Größen durch eine einmal abgeleitete Hilfsgröße zu ersetzen und damit weiter zu rechnen. Klar, das erhöht die Anzahl der Variablen in Deinem Zustandsdiagramm, aber der Vorteil ist, dass dann nur einmal abgeleitete Größen übrigbleiben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:05 So 20.01.2013 | | Autor: | StefanP |
Hallo,
wenn man das macht, kommt man ja auf so was hier:
[mm]
\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
x_{p}\\
y_{p}\\
\alpha\\
\beta\\
\dot{x}_{p}\\
\dot{y}_{p}\\
\dot{\alpha}\\
\dot{\beta}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & v & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \frac{mgb}{I_{AX}+mb^2} & 0 & 0 & \frac{mbv}{I_{AX}+mb^2} & 0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{p}\\
y_{p}\\
\alpha\\
\beta\\
\dot{x}_{p}\\
\dot{y}_{p}\\
\dot{\alpha}\\
\dot{\beta}\\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
\frac{v}{c}\\
\frac{mabv}{c(I_{AX}+mb^2)}\\
\end{pmatrix}
\dot{\gamma}
[/mm]
Das Problem ist aber immer noch die Eingangsgröße. Ich will ja [mm]u(t) = \gamma[/mm] als Eingang, im Modell steht aber die Ableitung [mm]\dot{\gamma}[/mm].
Wenn man nur eine DGL hat, z.B.:
[mm]a_{n}y^{(n)}+\ ...\ + a_{1}y^{(1)} + a_{0}y = b_{q}u^{(q)}+\ ...\ + b_{1}u^{(1)} + b_{0}u[/mm]
Dann kann man mit den [mm]a_{i}[/mm] und [mm]b_{i}[/mm] direkt ein Zustandsraummodell in Regelungsnormalform angeben, obwohl die Ableitungen der Eingangsgröße vorkommen. Dabei nutzt man die Beziehung: [mm]u(t)\rightarrow y(t)\ \ \Rightarrow\ \ \dot{u}(t)\rightarrow \dot{y}(t)[/mm]
Ich weiß bloß nicht, wie man das bei so einem System von Differentialgleichungen anwenden könnte.
Edit: Ich hab vergessen, einen Fälligkeitszeitpunkt anzugeben. Ich bin auch in mehr als 24h noch interessiert :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 22.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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