Zwei Ebenen - gleiche Abstände < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mi 15.10.2008 | | Autor: | madhit |
| Aufgabe | Bestimme alle diejenigen Punkte, die von den Ebenen E1 und E2 denselben Abstand haben.
E1: x1-2*x2+2*x3=1
E2: 3*x1+4*x3=7 |
Ich frage mich nun, wie man an diese Aufgabe am besten angeht. Mir kommt es hier nicht um die Lösung dieser Aufgabe an, sondern um die Idee.
Ich dachte mir zuerst, man könne es über die Hessesche Normalform versuchen, da sie für beide Ebenen gleich sein müssten. Doch damit kam ich nicht recht weiter.
Zumindest denke ich mir, dass das Ergebnis (theoretisch) wieder eine Ebene ergeben muss, die wahrscheinlich dieselbe Schnittgerade hat wie die beiden sowie eine Winkelhalbierende des Schnittwinkels ist. Vielleicht kann mir jemand einen kurzen allgemeinen Denkansatz geben, wie ich die Sache angehen sollte.
Merci beaucoup
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo madhit!
> Bestimme alle diejenigen Punkte, die von den Ebenen E1 und
> E2 denselben Abstand haben.
> E1: x1-2*x2+2*x3=1
> E2: 3*x1+4*x3=7
> Ich frage mich nun, wie man an diese Aufgabe am besten
> angeht. Mir kommt es hier nicht um die Lösung dieser
> Aufgabe an, sondern um die Idee.
Wahrscheinlich gibt es noch ne geschicktere Lösung, aber so spontan fällt mir folgendes ein:
Ich würde zuerst gucken, ob die beiden Ebenen parallel zueinander sind. Dann dann kannst du einfach den Abstand berechnen, den Mittelpunkt nehmen und die Spannvektoren der Ebene übernehmen, dann hast du eine Ebene, bei der alle Punkte zu den obigen beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.
Sind die beiden Ebenen nicht parallel, dann könntest du den Schnittwinkel berechnen und ihn halbieren und so Spannvektoren für die entsprechende Ebene herausfinden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Do 16.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo madhit,
> Bestimme alle diejenigen Punkte, die von den Ebenen E1 und
> E2 denselben Abstand haben.
> E1: x1-2*x2+2*x3=1
> E2: 3*x1+4*x3=7
> Ich frage mich nun, wie man an diese Aufgabe am besten
> angeht. Mir kommt es hier nicht um die Lösung dieser
> Aufgabe an, sondern um die Idee.
>
> Ich dachte mir zuerst, man könne es über die Hessesche
> Normalform versuchen, da sie für beide Ebenen gleich sein
> müssten. Doch damit kam ich nicht recht weiter.
Ich würde auch mit der Hesseschen Normalform arbeiten. Wo bist Du da hängengeblieben?
Du formst beide Gleichungen in die Hessesche Normalform um. Sei jetzt [mm] X(x_1; x_2; x_3) [/mm] ein Punkt, der von beiden Ebenen gleich weit entfernt ist. Setze die Koordinaten in die beiden Hesse-Formen ein und setze die Beträge gleich. Du erhälst damit die Gleichungen zweier Ebenen.
> Zumindest denke ich mir, dass das Ergebnis (theoretisch)
> wieder eine Ebene ergeben muss, die wahrscheinlich dieselbe
> Schnittgerade hat wie die beiden sowie eine
> Winkelhalbierende des Schnittwinkels ist. Vielleicht kann
> mir jemand einen kurzen allgemeinen Denkansatz geben, wie
> ich die Sache angehen sollte.
Das ist richtig. Du bekommst sogar zwei Ebenen, da die beiden Ebenen ja nicht parallel sind.
Gruß
Sigrid
>
> Merci beaucoup
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Do 16.10.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo madhit,
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> > Bestimme alle diejenigen Punkte, die von den Ebenen E1 und
> > E2 denselben Abstand haben.
> > E1: x1-2*x2+2*x3=1
> > E2: 3*x1+4*x3=7
> > Ich frage mich nun, wie man an diese Aufgabe am besten
> > angeht. Mir kommt es hier nicht um die Lösung dieser
> > Aufgabe an, sondern um die Idee.
> >
> > Ich dachte mir zuerst, man könne es über die Hessesche
> > Normalform versuchen, da sie für beide Ebenen gleich sein
> > müssten. Doch damit kam ich nicht recht weiter.
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> Ich würde auch mit der Hesseschen Normalform arbeiten. Wo
> bist Du da hängengeblieben?
> Du formst beide Gleichungen in die Hessesche Normalform
> um. Sei jetzt [mm]X(x_1; x_2; x_3)[/mm] ein Punkt, der von beiden
> Ebenen gleich weit entfernt ist. Setze die Koordinaten in
> die beiden Hesse-Formen ein und setze die Beträge gleich.
> Du erhälst damit die Gleichungen zweier Ebenen.
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> > Zumindest denke ich mir, dass das Ergebnis (theoretisch)
> > wieder eine Ebene ergeben muss, die wahrscheinlich dieselbe
> > Schnittgerade hat wie die beiden sowie eine
> > Winkelhalbierende des Schnittwinkels ist. Vielleicht kann
> > mir jemand einen kurzen allgemeinen Denkansatz geben, wie
> > ich die Sache angehen sollte.
>
> Das ist richtig. Du bekommst sogar zwei Ebenen, da die
> beiden Ebenen ja nicht parallel sind.
>
> Gruß
> Sigrid
> >
> > Merci beaucoup
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
da die beiden ebenen nicht parallel sind, sind die gesuchten ebenen die 2 winkelhalbierenden, und die bekommt man tatsächlich am einfachsten mit der HNF:
[mm] \frac{x-2y+2z-1}{3}\pm\frac{3x+4z-7}{5}=0
[/mm]
fertig
(mit kosmetik kann man alles noch auf gemeinsamen nenner bringen und getrennt als [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] hinmalen)
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