Zwei Wege - Versch. Lösungen!? < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hallo, ich habe Probleme beim Ableiten einer recht komplexen Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{2}{1-x^{2}}-ln(\bruch{1+x}{1-x})=2(1-x^{2})^{-1}-ln(\bruch{1+x}{1-x})
[/mm]
Nun kann man die Funktion ja einfach so ableiten, sprich Quotientenregel für die innere Funktion des Logarithmus anwenden. Dann kommt folgendes heraus:
[mm] f'(x)=\bruch{2(x^{2}+2x-1)}{(1-x^{2})^{2}}
[/mm]
Diese Lösung ist 100&ig richtig!
Nun meinte der Lehrer allerdings, man könnte sich Arbeit sparen, wenn man die Funktion zunächst wie folgt umformt:
[mm] f(x)=2(1-x^{2})^{-1}-ln(1+x)+ln(1-x)
[/mm]
Allerdings komme ich auf diesem Weg einfach nicht auf das richtige Ergebnis. Was mache ich falsch?
[mm] f'(x)=\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{1}{1+x}-\bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{1-x}{1-x^{2}}-\bruch{1+x}{1-x^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{-2x(1-x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x+2x-2x^{3}}{(1-x^{2})^{2}}
[/mm]
Die Frage wurde nirgends anders gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Disap |
> Hallo, ich habe Probleme beim Ableiten einer recht
Hi.
> komplexen Funktion:
>
> [mm]f(x)=\bruch{2}{1-x^{2}}-ln(\bruch{1+x}{1-x})=2(1-x^{2})^{-1}-ln(\bruch{1+x}{1-x})[/mm]
>
> Nun kann man die Funktion ja einfach so ableiten, sprich
> Quotientenregel für die innere Funktion des Logarithmus
> anwenden. Dann kommt folgendes heraus:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{2(x^{2}+2x-1)}{(1-x^{2})^{2}}[/mm]
>
> Diese Lösung ist 100&ig richtig!
>
> Nun meinte der Lehrer allerdings, man könnte sich Arbeit
> sparen, wenn man die Funktion zunächst wie folgt umformt:
>
> [mm]f(x)=2(1-x^{2})^{-1}-ln(1+x)+ln(1-x)[/mm]
> Allerdings komme ich auf diesem Weg einfach nicht auf das
> richtige Ergebnis. Was mache ich falsch?
>
> [mm]f'(x)=\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{1}{1+x}\red{-}\bruch{1}{1-x}[/mm]
Alt und falsch:
Da liegt der Fehler. Oder zumindest ein Fehler
Denn die Ableitung von +ln(1-x) = [mm] +\frac{1}{1-x}
[/mm]
Nach dem Einwand von Marius90:
Ich habe leider [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] ableitet. Sorry
>
> [mm]=\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{-2x(1-x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4x+2x-2x^{3}}{(1-x^{2})^{2}}[/mm]
>
> Die Frage wurde nirgends anders gestellt!
MfG
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Marius90 |
Denn die Ableitung von +ln(1-x) = + $ [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] $
Warum denn?
ln(1-x) ist eine Verkettung von zwei Funktionen. ln(x) ist die äußere Funktion, 1-x die innere Funktion. Nun die Ableitung:
[mm] \bruch{1}{1-x}*(-1) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{1-x}
[/mm]
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Hallo Marius,
du hast natürlich vollkommen recht, beide deiner Ableitungen stimmen, es sind dieselben Ausdrücke, nur anders geschrieben:
Man kommt von der zweiten Version zur ersten Version so:
[mm] $f'(x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}-\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1-x}=\frac{4x}{(1-x^2)^2}-\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{4x}{(1-x^2)^2}-\left(\frac{\blue{(1-x)(1-x^2)}}{(1+x)\blue{(1-x)(1-x^2)}}+\frac{\red{(1+x)(1-x^2)}}{(1-x)\red{(1+x)(1-x^2)}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{4x}{(1-x^2)^2}-\left(\frac{2(1-x^2)}{(1-x^2)^2}\right)=\frac{4x-2+2x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{2(x^2+2x-1)}{(1-x^2)^2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Marius90 |
Danke schonmal für deine Mühe!
So wie du es gemacht hast, ist es nachvollziehbar. Jedoch weiß ich immer noch nicht, welchen Fehler ich auf meinem Weg gemacht habe. Nochmal etwas ausführlicher:
[mm] f'(x)=\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{1}{1+x}-\bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{1*(1-x)}{(1+x)*(1-x)}-\bruch{1*(1+x)}{(1-x)*(1+x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{1-x}{1-x^{2}}-\bruch{1+x}{1-x^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{-2x}{1-x^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{-2x(1-x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x+2x-2x^{3}}{(1-x^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x^{3}+6x}{(1-x^{2})^{2}}
[/mm]
Nun ja, und das ist ja auf keinen Fall dasselbe wie das 1. Ergebnis.
[mm] \bruch{2(x^{2}+2x-1)}{(1-x^{2})^{2}}=\bruch{-2x^{3}+6x}{(1-x^{2})^{2}} |*(1-x^{2})^{2}
[/mm]
[mm] 2(x^{2}+2x-1)=-2x^{3}+6x
[/mm]
Wenn man für x bspw. 0 einsetzt, dann sieht man ja schon, dass es nicht dasselbe ist.
Deshalb weiterhin die Frage, wo ist mein Fehler bei diesem Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der Fehler passiert von
[mm] \bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{1-x}{1-x^{2}}-\bruch{1+x}{1-x^{2}}
[/mm]
zu
[mm] \bruch{4x}{(1-x^{2})^{2}}-\bruch{-2x}{1-x^{2}}.
[/mm]
Da fasst du die Brüche falsch zusammen!
[mm] -\bruch{1-x}{1-x^{2}}-\bruch{1+x}{1-x^{2}}=-(\bruch{1-x}{1-x^{2}}+\bruch{1+x}{1-x^{2}})=-\bruch{1-x+1+x}{1-x^{2}}=-\bruch{2}{1-x^{2}}
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Marius90 |
Danke! Das war das Problem.
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