Zwei trigonometrische Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:03 Do 29.06.2006 | | Autor: | Schnecke88 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie den Graphen von f im Peridoenintervall (0;3 [mm] \pi) [/mm] auf Schnittpunkte mit der x-Achse sam teigung sowie auf Extrem-, Wende- und Nullstellen. Geben Sie die Periodenlänge an und leiten sie die Funktion bis zur dritten Ableitung ab. Bestimmen sie die Stammfunktion und berechnen sie dann den Flächeninhalt (0;3 [mm] \pi)
[/mm]
a) f(x)=sin(0,5x) b)3cos(0,5x) |
Kann mir bitte einer helfen? bin echt am verzweifeln, weil ich die aufgaben einfach nicht herausbekomme....Bitte!
ich weiß das die Stammfunktion von a) -2cos(x) ist oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 29.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Untersuchen Sie den Graphen von f im Peridoenintervall (0;3
> [mm]\pi)[/mm] auf Schnittpunkte mit der x-Achse sam teigung sowie
> auf Extrem-, Wende- und Nullstellen. Geben Sie die
> Periodenlänge an und leiten sie die Funktion bis zur
> dritten Ableitung ab. Bestimmen sie die Stammfunktion und
> berechnen sie dann den Flächeninhalt (0;3 [mm]\pi)[/mm]
> a) f(x)=sin(0,5x) b)3cos(0,5x)
> Kann mir bitte einer helfen? bin echt am verzweifeln, weil
> ich die aufgaben einfach nicht herausbekomme....Bitte!
>
Hallo Sarah
> ich weiß das die Stammfunktion von a) -2cos(x) ist oder
> nicht?
Fast, mit Hilfe der Kettenregel (innere mal äussere Ableitung) erhältst du aus:
f(x) = sin [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x)
f'(x) = [mm] \underbrace{\bruch{1}{2}}_{innere Abl.} [/mm] * [mm] \underbrace{cos (\bruch{1}{2} x)}_{aeussere Abl.}
[/mm]
und mit dem gleichen Verfahren:
f´´(x) = - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * sin [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x) (Nach Zusammenfassen!!)
und
[mm] f^{(3)} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] * cos [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x).
Das sollte weiterhelfen, die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen zu berechnen.
Zu b)
f(x) = 3 cos [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x)
f´(x) = - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] sin [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x)
f´´(x) = - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] cos [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x)
und [mm] f^{(3)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] sin [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] x)
Funktioniert wie Teil a)
Zu weiteren Fragen und zur Kontrolle kannst du die Graphen ja mal mit
![[]](/images/popup.gif) Funkyplot skizzieren.
Ich hoffe, das hilft ein wenig weiter.
Marius
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Ja das kann ich ja noch so einigermaßen, aber ich kann das mit diesem intervall nicht un weiß auch nicht wie man bei so einer komplizierten funktion die extremstellen, null- und wendestellen ausrechnet...komme einfach nicht drauf!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 30.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Naja, der Sinus nimmt an den Stellen 0, [mm] \pi, 2\pi... [/mm] also allgemein
an den ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] den Wert 0 an.
Also musst du den Term innerhalb der Sinusfunktion = k * [mm] \pi [/mm] setzen.
Du sollst aber, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe nur in Intervall
von = bis [mm] 3\pi [/mm] bleiben. Also stelle jeweils vier Gleichungen auf
(argument = [mm] \pi [/mm] , Argument = [mm] 2\pi; [/mm] Argument = [mm] 3\pi [/mm] und Argument = 0).
Die Cosinusfunktion ist um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] verschoben, also musst du jeweils noch [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] dazuaddieren
Hilft das weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Schnecke88 |
ich bekomme das einfach nicht hin...kann mir vielleicht einer die aufgabe komplett rechnen, damit ich sie dann nachvollziehen kann...das würde mir mehr helfen...muss nur verstehn wie das geht....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 So 02.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hi,
nehmen wir mal die erste Funktion.
f(x) = sin (0,5x)
Jetzt gilt, wie schon gesagt, dass die Nullstellen der Sinusfunktion bei den ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] liegen.
Also muss das Argument innerhalb der Funktion genau ei solches Vielfaches sein.
Zwischen 0 und [mm] 3\pi [/mm] liegen jetzt jenau 4 solcher ganzzahligen Vielfachen. (0, [mm] \pi, 2\pi, 3\pi)
[/mm]
Also sind die Nullstelle mit folgenden Gleichungen zu ermitteln:
a) 0 = 0,5x
b) [mm] \pi [/mm] = 0,5x
c) [mm] 2\pi [/mm] =0,5x
d) [mm] 3\pi [/mm] = 0,5x
Für den Cosinus, der ja um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] verschoben ist, musst du auf der Linken Seite der Gleichungen a) -c) jeweils noch [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] dazuaddieren. (Gleichung d) fällt weg, weil [mm] 3\pi [/mm] der Rand dienes gesuchten Intervalles ist.)
Also folgende Gleichungen lösen
1) [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = 0,5x
2) [mm] \pi +\bruch{\pi}{2} [/mm] = 0,5x
3) [mm] 2\pi [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = 0,5x
Da sich das Argument der Funktion in den Ableitungen nicht verändert, funktionieren alle Teile (Extremstellen, Wendestellen und die zweite Funktion genauso)
Ich habe hier zur Hilfe noch ein Bild der ersten Funktion mit ihren ersten beiden Ableitungen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hilft das jetzt weiter?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Hmmm...okay...hab aber immer noch keinen plan wie ich das andere ausrechne! und diese gleichung muss ich nur auflösen und hab ich die nullstellen oder was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 02.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hi,
Die jeweiligen Gleichungen a)-d) und 1)-3) musst du nach x auflösen, dann bekommst du deine Ergebnisse. (Tipp: Multipliziere beide Seiten mit 2, dann steht das Ergebnis da..., Dann noch vereinfachen)
Da sich der Term in den Klammern der Funktionen (den meine ich mit ARGUMENT), beim Ableiten ja nicht ändert, gibt es für die erste Funktion die vier Gleichungen a) -d) für die Nullstellen und die Wendestellen und die drei Gleichungen 1)-3) für die Extremstellen.
Bei der zweiten Funktion gibt es, da sie mit einem Cosinustem beginnt, dementsprechend drei Gleichungen für Null- und Wendestellen und vier für Extremstellen.
Marius
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okay das habe ich jetzt verstanden und wie komme ich auf die periodenlänge und die schnittpunkte samt steigung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 04.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hi,
Für die Schnittpunkte musst du die beiden Funktionen gleichsetzen, und dann nach x auflösen.
Evtl. brauchst du dafür die sogenannten Additionstheoreme .
Die Steigung an den Nullstellen (die hast du ja berechnet) ist der Wert der Ableitung der Funktion an diesen Stellen. (Die Ableitung ist ja quasi die "Steigungsfunktion", sie gibt dir die Steigung an einem Punkt an. (dieses gilt für alle Arten von Funktionen))
Die Periode einer Funktion ist die Länge, ab der sich die Funktionswerte wiederholen. für die Sinus- und Cosinusfunktion sind das 360° oder, in die Bogenlänge umgerechnet, 2 [mm] \pi.
[/mm]
Zur Veranschaulichung: Zeichne mal innerhalb eines Kreises den Winkel von 360° ein.
Ich hoffe, das beantwortet die Fragen
Marius
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Hi
ich hab da nochmal ne frage zu den extremstellen und den wendestellen...kannst du mir mal den rechenweg aufschreiben? denn um die stellen raus zu bekommen muss man ja die nullstellen der 1. ableitung und bei den wendestellen der 2. ableitung ausrechnen und dann nach x umstellen! aber wie bekomme ich den sinus bzw. den cosinus da weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 04.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hi
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> ich hab da nochmal ne frage zu den extremstellen und den
> wendestellen...kannst du mir mal den rechenweg
> aufschreiben? denn um die stellen raus zu bekommen muss man
> ja die nullstellen der 1. ableitung und bei den
> wendestellen der 2. ableitung ausrechnen und dann nach x
> umstellen! aber wie bekomme ich den sinus bzw. den cosinus
> da weg?
Hi
Ich denke, ich versuche es mal ganz ausführlich.
Du suchst die Nullstellen von f(x)=sin(0,5x).
Also soll gelten sin [mm] (0,5x_{0}) [/mm] = 0.
Jetzt weisst du, das sin (0) = 0.
Also gilt: [mm] \underbrace{0,5 x_{0_{1}}}_{Das ist das Funktionsargument} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{0_{1}} [/mm] = 0
Weiter gilt [mm] sin(\pi) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0,5 [mm] x_{0_{2}} [/mm] = [mm] \pi \Rightarrow x_{0_{2}} [/mm] = 2 [mm] \pi
[/mm]
Jetz gilt auch noch [mm] sin(2\pi) [/mm] = 0 und [mm] sin(3\pi) [/mm] = 0, also kannst du mit obigem Weg auch noch [mm] x_{0_{3}} [/mm] und [mm] x_{0_{4}} [/mm] berechnen.
Für die Ableitungen, in denen die Sinus-Fkt. vorkommt, gilt dasselbe.
Für Cos-Fkt. gilt:
[mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0, also gilt für die erste Ableitung
0,5 [mm] x_{e_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} \Rightarrow x_{e_{1}} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
Weiter gilt [mm] cos(\bruch{3}{2} \pi) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \bruch{3}{2} \pi [/mm] = [mm] \underbrace{\bruch{x_{e_{2}}}{2}}_{=0,5 x_{e_{2}}} \Rightarrow x_{e_{2}} [/mm] = 3 [mm] \pi
[/mm]
Und es gilt [mm] cos(\bruch{5}{2}*\pi) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0,5 [mm] x_{e_{3}} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}*\pi. \Rightarrow x_{e_{3}} [/mm] = ?.
Marius
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