Zweidimensional: Funktion \ge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Weise nach, dass [mm] 5x^{2}+2xy+3y^{2} [/mm] > 0 für alle (x,y) des [mm] \IR^{2} [/mm] außer für (x,y) = (0,0) |
Ich komme leider nur zu dem Ergebnis, dass x und y verschiedene Vorzeichen haben müssen, damit der Term negativ ist, weiter komme ich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:51 Mo 11.11.2024 | | Autor: | Fulla |
Hallo Mathemurmel!
> Weise nach, dass [mm]5x^{2}+2xy+3y^{2}[/mm] > 0 für alle (x,y) des
> [mm]\IR^{2}[/mm] außer für (x,y) = (0,0)
> Ich komme leider nur zu dem Ergebnis, dass x und y
> verschiedene Vorzeichen haben müssen, damit der Term
> negativ ist, weiter komme ich nicht.
Es gilt doch sicherlich
[mm]5x^2+2xy+3y^2 > x^2+2xy+y^2[/mm]
Kannst du hier eine Abschätzung bezüglich 0 machen?
Musst/sollst/willst du zeigen, dass [mm](0,0)[/mm] die einzige Stelle ist, wo Gleichheit herrscht? Da bräuchte man wahrscheinlich noch ein weiteres Argument...
Lieben Gruß
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mo 11.11.2024 | | Autor: | Gonozal_IX |
HIho,
> Musst/sollst/willst du zeigen, dass [mm](0,0)[/mm] die einzige
> Stelle ist, wo Gleichheit herrscht? Da bräuchte man
> wahrscheinlich noch ein weiteres Argument...
wieso? Deine Abschätzung ist dafür doch ideal geeignet…
Gruß,
Gono
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| Aufgabe | > Weise nach, dass [mm] 5x^{2}+2xy+3y^{2}> [/mm] 0 für alle (x,y) des [mm] \IR^{2}
[/mm]
> außer für (x,y) = (0,0) |
Mit Fulla's Ratschlag erhalte ich:
[mm] 5x^{2}+2xy+3y^{2}> (x+y)^{2}
[/mm]
Wie ich nachweise, dass (0,0) die einzige Stelle ist, wo Gleichheit herrscht,
weiß ich aber leider auch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Di 12.11.2024 | | Autor: | Fulla |
Und, um Gonos Hinweis aufzugreifen, gilt natürlich
[mm] $5x^2+2xy+3y^2 [/mm] > [mm] (x+y)^2 \stackrel{!}{=} [/mm] 0 [mm] \quad\Longleftrightarrow\quad [/mm] (x,y) = (0,0)$
Damit bist du dann fertig. (Ein paar erklärende Worte zur Abschätzung und zum letzten Schluss wären aber vielleicht noch sinnvoll...
Lieben Gruß
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mi 13.11.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Und, um Gonos Hinweis aufzugreifen, gilt natürlich
> [mm]5x^2+2xy+3y^2 > (x+y)^2 \stackrel{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x,y) = (0,0)[/mm]
>
Diese Äquivalenz stimmt so nicht, aus rechts folgt nicht links.
Gruß Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:10 Do 14.11.2024 | | Autor: | Fulla |
Hallo Dieter,
da hast du natürlich recht! Ich ging irgendwie davon aus, dass [mm] $x,y\geq [/mm] 0$ sind...
Ohne das jetzt näher durchgerechnet zu haben, würde ich empfehlen, vielleicht über die Ableitung bzw. den Gradienten zu gehen.
(Oder vielleicht sogar versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden..?)
Liebe Grüße
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Do 14.11.2024 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ein Gegenbeispiel wirst du nicht finden.
Dein Ansatz ist schon (fast) korrekt.
Es ist: $ [mm] 5x^{2}+2xy+3y^{2} [/mm] = [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 2y^2 [/mm] + [mm] (x+y)^2 \ge [/mm] 0$
Nun sieht man sofort, dass für [mm] $x\not=0$ [/mm] oder [mm] $y\not=0$ [/mm] der Ausdruck positiv ist.
Gruß,
Gono
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