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| Aufgabe | Seien [mm] $m,n\in\IN$, [/mm] $n>1$ und gelte [mm] $\varphi(n\cdot{}m)=\varphi(m)$
[/mm]
zu zeigen: [mm] $n=2\wedge [/mm] m$ ungerade |
Hallo zusammen,
heute war Zahlentheorieklausur angesagt und dort kam u.a. obige Aufgabe vor.
Wenn man $n=2$ gezeigt hat, ist der Rest einfach, meine Frage/Zweifel bezieht sich auf meinen "Beweis" zu $n=2$
Ich hab's so gemacht:
[mm] $\varphi(n\cdot{}m)=n\cdot{}m\cdot{}\prod\limits_{\stackrel{p\mid (n\cdot{}m)}{p \ \text{prim}}}\left(1-\frac{1}{p}\right)=m\cdot{}\prod\limits_{\stackrel{p\mid m}{p \ \text{prim}}}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\varphi(m)$
[/mm]
Dann habe ich mir gedacht, dass mit [mm] $p\mid [/mm] m$ ja auch [mm] $p\mid (n\cdot{}m)$ [/mm] gilt, dass also jeder der Faktoren auf der rechten Seite auch linkerhand vorkommt.
Folglich habe ich munter durch die rechte Seite geteilt und bekam
[mm] $n\cdot{}\prod\limits_{\stackrel{p\mid n}{p \ \text{prim}}}\left(1-\frac{1}{p}\right)=1$, [/mm] also [mm] $\varphi(n)=1$
[/mm]
Da nun $n>1$ vorausgesetzt ist und für alle $n>2$ auch [mm] $\varphi(n)>1$ [/mm] ist, muss $n=2$ sein.
Der Zweifel besteht nun darin, ob ich nicht beim Teilen evtl. gemeinsame Primteiler von $m$ und $n$ rausgeteilt haben könnte und mit meiner Umformung nicht eigentlich Teilerfremdheit angenommen habe, die keine Voraussetzung garantiert ...
Hmm, vllt. kann jemand helfen?!
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:29 Mi 01.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo schachuzipus
> Seien [mm]m,n\in\IN[/mm], [mm]n>1[/mm] und gelte
> [mm]\varphi(n\cdot{}m)=\varphi(m)[/mm]
>
> zu zeigen: [mm]n=2\wedge m[/mm] ungerade
> Hallo zusammen,
>
> heute war Zahlentheorieklausur angesagt und dort kam u.a.
> obige Aufgabe vor.
>
> Wenn man [mm]n=2[/mm] gezeigt hat, ist der Rest einfach, meine
> Frage/Zweifel bezieht sich auf meinen "Beweis" zu [mm]n=2[/mm]
>
> Ich hab's so gemacht:
>
> [mm]\varphi(n\cdot{}m)=n\cdot{}m\cdot{}\prod\limits_{\stackrel{p\mid (n\cdot{}m)}{p \ \text{prim}}}\left(1-\frac{1}{p}\right)=m\cdot{}\prod\limits_{\stackrel{p\mid m}{p \ \text{prim}}}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\varphi(m)[/mm]
>
> Dann habe ich mir gedacht, dass mit [mm]p\mid m[/mm] ja auch [mm]p\mid (n\cdot{}m)[/mm]
> gilt, dass also jeder der Faktoren auf der rechten Seite
> auch linkerhand vorkommt.
>
> Folglich habe ich munter durch die rechte Seite geteilt und
> bekam
>
> [mm]n\cdot{}\prod\limits_{\stackrel{p\mid n}{p \ \text{prim}}}\left(1-\frac{1}{p}\right)=1[/mm],
> also [mm]\varphi(n)=1[/mm]
Das geht so nicht; das Produkt geht nur ueber die Primteiler von $n$, die keine Primteiler von $m$ sind.
Aber das macht nichts: das was uebrig bleibt und $= 1$ ist ist [mm] $\ge \varphi(n)$, [/mm] da [mm] $\varphi(n)$ [/mm] mehr Faktoren vom Typ $1 - [mm] \frac{1}{p} [/mm] < 1$ hat. Damit gilt [mm] $\varphi(n) \le [/mm] 1$ und es muss [mm] $\varphi(n) [/mm] = 1$ und $n = 2$ sein.
LG Felix
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Hallo Felix,
hmm, eigentlich eine Trivialität, die sich im Nachhinein geradezu aufdrängt.
Wieso man in Klausuren so oft den "Tunnelblick" hat und das Offensichtliche nicht "sieht" ...
Naja, immerhin geht die Begründung ganz am Schluss in die richtige Richtung ...
Besten Dank für deine Antwort und schöne Grüße nach Kanada
schachuzipus
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