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| Aufgabe 1 | Bestimmen sie ein [mm] \alpha \in \IC, [/mm] so dass für alle offenen Mengen [mm] \Omega [/mm] mit (stückweise) glattem Rand gilt:
[mm] \integral_{\Omega}{dx \wedge dy} [/mm] = [mm] \alpha \integral_{\partial \Omega}{-zd\overline{z}+\overline{z}}dz.
[/mm]
Bemerkung: Dies ist der Flächeninhalt der Menge [mm] \Omega. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie: [mm] \integral_{\gamma}{fd\overline{z}}=\overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}}
[/mm]
wobei [mm] \overline{f}(z):=\overline{f(z)} [/mm] gilt. |
| Aufgabe 3 | Es sei r > 0. Berechnen Sie:
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}dz}
[/mm]
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{zd\overline{z}}
[/mm]
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}d\overline{z}}
[/mm]
[mm] \integral_{\partial\Delta_{r}}{zdz} [/mm] |
Hallo zusammen,
auch bei dieser Aufgabe wäre ich um eure Hilfe dankbar, da ich nicht wirklich einen Ansatz habe.
Zu 1)
Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz, muss ich z.B. x und y in z und z quer schreiben und dann herumprobieren oder was ist hier verlangt?
Zu 2)
Betrachte das Integral auf der rechten Seite: [mm] \overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}}. [/mm] Da [mm] \overline{f}(z):=\overline{f(z)} [/mm] gilt wird aus [mm] \overline{f} [/mm] f. Aus z wird [mm] \overline{z}. [/mm] Das ist soweit für mich klar, aber wie kann ich begründen, dass man komplex konjugieren des Integrals selber nichts passiert?
zu 3)
Hier ist mir noch nicht ganz klar wie ich bei der Berechnung vorgehen soll. Für den Kreis brauche ich eine Parametrisierung oder muss ich hier mit der Cauchy Integrationsformel arbeiten? Wenn man hier mit der Cauchy-Integrationsformel arbeiten muss, könnte mir jemand dann beispielhaft zeigen, wie man bei der Berechnung vorgeht? Das wäre ziemlich cool :).
Beste Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mi 01.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen sie ein [mm]\alpha \in \IC,[/mm] so dass für alle offenen
> Mengen [mm]\Omega[/mm] mit (stückweise) glattem Rand gilt:
> [mm]\integral_{\Omega}{dx \wedge dy}[/mm] = [mm]\alpha \integral_{\partial \Omega}{-zd\overline{z}+\overline{z}}dz.[/mm]
>
> Bemerkung: Dies ist der Flächeninhalt der Menge [mm]\Omega.[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm]\integral_{\gamma}{fd\overline{z}}=\overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}}[/mm]
> wobei [mm]\overline{f}(z):=\overline{f(z)}[/mm] gilt.
> Es sei r > 0. Berechnen Sie:
> [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}dz}[/mm]
> [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{zd\overline{z}}[/mm]
> [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{\overline{z}d\overline{z}}[/mm]
> [mm]\integral_{\partial\Delta_{r}}{zdz}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> auch bei dieser Aufgabe wäre ich um eure Hilfe dankbar, da
> ich nicht wirklich einen Ansatz habe.
>
> Zu 1)
>
> Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz, muss ich z.B. x und
> y in z und z quer schreiben und dann herumprobieren oder
> was ist hier verlangt?
Tipp: bilde die äußere Ableitung von [mm] $zd\overline{z}+\overline{z}$.
[/mm]
>
> Zu 2)
>
> Betrachte das Integral auf der rechten Seite:
> [mm]\overline{\integral_{\gamma}{\overline{f}dz}}.[/mm] Da
> [mm]\overline{f}(z):=\overline{f(z)}[/mm] gilt wird aus [mm]\overline{f}[/mm]
> f. Aus z wird [mm]\overline{z}.[/mm] Das ist soweit für mich klar,
> aber wie kann ich begründen, dass man komplex konjugieren
> des Integrals selber nichts passiert?
Gar nicht, denn es ist falsch.
Tipp: setze die Definition des Kurvenintegrals ein.
>
> zu 3)
>
> Hier ist mir noch nicht ganz klar wie ich bei der
> Berechnung vorgehen soll. Für den Kreis brauche ich eine
> Parametrisierung oder muss ich hier mit der Cauchy
> Integrationsformel arbeiten? Wenn man hier mit der
> Cauchy-Integrationsformel arbeiten muss, könnte mir jemand
> dann beispielhaft zeigen, wie man bei der Berechnung
> vorgeht? Das wäre ziemlich cool :).
Die Integralformel von Cauchy hilft dir nicht. Du musst nur eines der Integrale wirklich ausrechnen: Benutze das Ergebnis on Aufgabe 2, um zwei der Integrale auf die beiden anderen zurückzuführen. Das vierte Integral ist nach Cauchy 0.
Dann kannst du das verbleibende Integral mit Wahl einer Parametrisierung explizit ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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