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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Ein Läufer left eine Strecke von 10 km zurück und benötigt dafür 30 Minuten.(Er benötigt für einen Kilometer somit also durchschnittlich 3 Minuten).
Zeigen Sie, dass es auf der Laufstrecke einen 2 km langen Abschnitt gibt, für den er genau 6 Minuten benötigt.
Anleitung:
Sie dürfen annehmen, dass die Abb. [mm]f:[0.30] \to [0,10][/mm], die zu gegebenem Zeitpunkt t zurückgelegte Laufstrecke [mm]f(t)[/mm] angibt,
stetig, und streng monoton wachsend ist.
Betrachten Sie die Abb. [mm]T[/mm], die für x [mm] \in [/mm] [0,8] die Zeit [mm]T(x)[/mm] angibt, die der Läufer für die Strecke zwischen x und x+2 benötigt, und wenden Sie den Zwischenwertsatz an. |
Hallo,
diese Aufgabe scheint sehr interessant zu sein, jedoch komme ich dort nicht auf einen grünen Zweig.
Meine Ansätze:
Funktion f, und T sind bijektiv, da streng monoton.
Die Fkt T ist so ne Art restriktive Umkehrabb. von f.
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mo 09.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Ein Läufer left eine Strecke von 10 km zurück und benötigt
> dafür 30 Minuten.(Er benötigt für einen Kilometer somit
> also durchschnittlich 3 Minuten).
> Zeigen Sie, dass es auf der Laufstrecke einen 2 km langen
> Abschnitt gibt, für den er genau 6 Minuten benötigt.
>
> Anleitung:
> Sie dürfen annehmen, dass die Abb. [mm]f:[0.30] \to [0,10][/mm],
> die zu gegebenem Zeitpunkt t zurückgelegte Laufstrecke [mm]f(t)[/mm]
> angibt,
> stetig, und streng monoton wachsend ist.
> Betrachten Sie die Abb. [mm]T[/mm], die für x [mm]\in[/mm] [0,8] die Zeit
> [mm]T(x)[/mm] angibt, die der Läufer für die Strecke zwischen x und
> x+2 benötigt, und wenden Sie den Zwischenwertsatz an.
> Hallo,
>
> diese Aufgabe scheint sehr interessant zu sein, jedoch
> komme ich dort nicht auf einen grünen Zweig.
> Meine Ansätze:
> Funktion f, und T sind bijektiv, da streng monoton.
> Die Fkt T ist so ne Art restriktive Umkehrabb. von f.
Falsch: $T$ ist nicht monoton oder bijektiv.
Allerdings: Es ist $T(x) = [mm] f^{-1}(x [/mm] + 2) - [mm] f^{-1}(x) [/mm] > 0$, und $T$ ist stetig (das musst du noch begruenden).
Weiterhin ist $f(0) = 0$ und $f(30) = 10$, also ist $30 = [mm] f^{-1}(10) [/mm] - [mm] f^{-1}(0) [/mm] = [mm] f^{-1}(10) [/mm] - [mm] f^{-1}(8) [/mm] + [mm] f^{-1}(8) [/mm] - [mm] f^{-1}(6) [/mm] + [mm] f^{-1}(6) \pm \dots [/mm] - [mm] f^{-1}(0) [/mm] = T(8) + T(6) + T(4) + T(2) + T(0)$.
Jetzt nimm mal an, dass $T$ den Wert $6$ niemals annimmt. Was weisst du dann ueber $T$? Versuch das mal mit der obigen Gleichung zu benutzen.
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 11.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Eine Sache verstehe ich noch nicht ganz.
Wieso ist
$T(x) = [mm] f^{-1}(x [/mm] + 2) - [mm] f^{-1}(x) [/mm] > 0$ ??
Aber [mm] $f^{-1}(x [/mm] + 2)$ und $ [mm] f^{-1}(x)$ [/mm] sind doch bijektiv oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Eine Sache verstehe ich noch nicht ganz.
> Wieso ist
> [mm]T(x) = f^{-1}(x + 2) - f^{-1}(x) > 0[/mm] ??
Was verstehst du daran nicht? Größer als $0$ ist der Ausdruck, weil $f$ streng monoton steigend ist. [mm] $f^{-1}(x+2)$ [/mm] ist der Zeitpunkt, wo der Läufer bei Kilometer $x+2$ ist, [mm] $f^{-1}(x)$ [/mm] der Zeitpunkt, wo der Läufer bei Kilometer $x$ ist. Daher ist die Differenz eben die Zeitdauer, die der Läufer zwischen den beiden Kilometern $x$ und $x+2$ braucht.
> Aber [mm]f^{-1}(x + 2)[/mm] und [mm]f^{-1}(x)[/mm] sind doch bijektiv oder ?
Natürlich ist [mm] $f^{-1}$ [/mm] bijektiv, aber das ist unerheblich.
Liebe Grüße
Stefan
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