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Hallo,
ich habe eine Frage zum Zwischenwertsatz. Bei Wikipedia steht da:
"Es sei f: [a, b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem v [mm] \in [/mm] [f(a), f(b)] ein u [mm] \in [/mm] [a, b] mit f(u) = v."
Meine Frage dazu: Setzt diese Definition nicht stillschweigend voraus, dass f eine monoton steigende Funktion ist?
Mein Gegenbeispiel wäre die Funktion f: ]0, 1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \to \bruch{1}{x}. [/mm] Denn das Intervall [f(a), f(b)] ist ja dann ziemlich sinnfrei, denn f(a) > f(b) und I = ]a, b] bedeutet doch:
x [mm] \in [/mm] ]a, b] [mm] \Rightarrow [/mm] a < x [mm] \le [/mm] b
Versteht ihr was ich sagen will?
Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 19.04.2007 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Martin,
technisch gesehen hast Du recht, die Definition von Wikipedia ist falsch. Vollkommen richtig müsste sie eigentlich lauten:
"Es sei $f: [a, b] [mm] \to \IR [/mm] $ eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem $v [mm] \in [\min\{f(a),f(b)\}, \max\{f(a),f(b)\}]$ [/mm] ein $u [mm] \in [/mm] [a, b]$ mit $f(u) = v$."
Beachte die Bildung von Minimum und Maximum im Bildbereich.
Nur mit dieser Definition ist sichergestellt, dass das betrachtete "Ziel"Intervall auch nicht leer ist. Allerdings wirst Du mir zustimmen, dass das nicht besonders nett zu lesen ist, weswegen wahrscheinlich der Autor bei Wikipedia diese etwas schludrigere Form gewählt hat, um den Zwischenwertsatz zu formulieren.
greetz
AT-Colt
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