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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Do 25.10.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Ein Wanderer legt den Hinweg zu einer Berghütte in der Zeit zwischen 8 und 18 Uhr zurück. Am Tag darauf wandert er auf dem gleichen Weg ins Tal zurück. Dabei startet er wieder um 8 Uhr, ist aber bereits um 14 Uhr zu Hause. Zeigen Sie, dass es einen Ort auf dem Weg gibt, an dem der Wanderer an beiden Tagen zur selben Zeit vorbeikommt. |
Hallo, das ist glaube ich nicht wirklich schwer...  Ich weiß, dass der Zwischenwertsatz hilft, aber ich bin zu blöd!
Bitte um Hilfe!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo teo,
nehmen wir mal, an der Weg vom Tal zum Berghütte hat die Länge s>0. Dann sei jeder Ort auf dem Weg mit seinem Abstand (über den Weg) vom Tal identifiziert. Das Tal entspricht also 0, die Berghütte s, die Mitte des Weges [mm] $\bruch{s}{2}$, [/mm] ...
Dann kann der Hinweg beschrieben werden durch eine stetige Funktion
[mm] $f\colon[8,18]\to[0,s]$
[/mm]
(wobei für [mm] $t\in[8,18]$ [/mm] der Wert $f(t)$ gerade dem Ort des Wanderers zum Zeitpunkt t entspricht)
mit $f(8)=0$ und $f(18)=s$.
Analog kann der Rückweg beschrieben werden durch eine Funktion g, die von wo nach wo abbildet und welche Eigenschaften hat?
Zu zeigen ist nun, dass ein Zeitpunkt [mm] $t\in[0,14]$ [/mm] existiert mit $f(t)=g(t)$.
Soweit die Modellierung des Sachzusammenhanges. Jetzt kommst du mit dem mathematischen Teil, mithilfe des Zwischenwertsatzes die Behauptung zu beweisen...
Viele Grüße
Tobias
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Hallo teo,
mal ganz unmathematisch:
Der Wanderer zeichnet die genaue GPS-Spur seines Aufstiegs auf.
Glücklicherweise hat er auf der Hütte UMTS-Empfang und sendet seine Datei einem Freund im Tal.
Am nächsten Morgen gehen beide um 8h los. Der aufsteigende Freund reproduziert so genau wie möglich die Vortagswanderung.
...und irgendwann begegnen sie sich auf der Strecke.
Genau das hat Tobias nun zu modellieren versucht. Wir müssen nichts über den Geschwindigkeitsverlauf wissen noch den Treffpunkt oder die Zeit bestimmen. Du sollst ja nur zeigen, dass es einen solchen Treffpunkt gibt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 25.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
das folgt ja sofort aus der Stetigkeit beider Funktionen. Mir ist das auch anschaulich klar, f und g schneiden sich in einem Punkt. Nur mag mir der saubere Beweis überhaupt nicht von der Hand gehn...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Do 25.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo teo,
mach Dir doch mal eine Skizze der beiden Funktionen. Die eine, sagen wir f, ordnet jedem Zeitpunkt die zurückgelegte Strecke, die andere, g, die noch zurückzulegende Strecke zu.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> das folgt ja sofort aus der Stetigkeit beider Funktionen.
> Mir ist das auch anschaulich klar, f und g schneiden sich
> in einem Punkt. Nur mag mir der saubere Beweis überhaupt
> nicht von der Hand gehn...
Für [mm] $t\in[8,14]$ [/mm] ist $f(t)=g(t)$ gleichbedeutend mit $(f-g)(t)=0$.
Wende den Zwischenwertsatz auf [mm] $f-g\colon[8,14]\to\IR$ [/mm] an!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Do 25.10.2012 | | Autor: | teo |
Oh man...! Danke!
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