Zwischenwertsatz am Polynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 03.01.2006 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit dem Zwischenwertsaty: Das Polynom p,
p(x) = [mm] a_{n}x^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{2}x^{2} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] (x [mm] \in \IR),
[/mm]
mit reellen Koeffizienten hat, wenn [mm] a_{n}*a_{0}<0 [/mm] gilt und der Grad [mm] n\ge2 [/mm] gerade ist, mindestens zwei verschiedene Nullstellen. |
Ich glaube es soll helfen, wenn man davon ausgeht, dass [mm] a_{n} [/mm] positiv und [mm] a_{0} [/mm] negativ ist.
Es leuchtet mir ja auch ein, dass dem so sein muss. Nur wie beweise ich das mit dem ZWS?
Danke schonmal.
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Hallo Sandra,
Du muesstest bei Deiner Aufgabe beide Faelle [mm] a_n [/mm] >0, [mm] a_0 [/mm] <0 und [mm] a_n [/mm] <0, [mm] a_0 [/mm] >0
betrachten.
Versuch doch mal, unter den Gegebenheiten drei Zahlen [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2
[/mm]
mit entweder [mm] p(x_0) [/mm] < 0 , [mm] p(x_1) [/mm] >0 , [mm] p(x_2) [/mm] < 0 oder umgekehrt zu konstruieren.
Eines der x'e, zB [mm] x_1, [/mm] koenntest Du ja auf 0 setzen, dadurch bringst Du die Bedingung an das [mm] a_0
[/mm]
ins Spiel. Die anderen beiden Werte wuerde ich dem Betrag nach hinreichend gross waehlen.
Viele Gruesse und viel Erfolg,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallo Leute! Danke erstmal für den Link, so ähnliche Gedanken hatte ich auch schon.
Hab trotzdem noch ein paar Unklarheiten. Also im Link stand doch, ich soll drei Zahlen so konstruieren, dass x1 <x2 <x3. Muss ich das nicht allgemein beweisen, nicht durch Beispiele?
Also wenn ich jetzt x1=0 setze,erfüllen x1 un x3 jeweils die Bedingung
[mm] a_{n}<0 [/mm] oder [mm] a_{n} [/mm] >0. Damit ist jetzt p(x1) <0, p(x2) >0 und p(x3)<0. Daher hab ich mindestens zwei Nullstellen, nämlich in den Intervallen [x1,x2] und [x2,x3]. Ist das so schon nachvollziehbar für Dritte oder fehlt noch ein Gedankengang?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo Leute! Danke erstmal für den Link, so ähnliche
> Gedanken hatte ich auch schon.
> Hab trotzdem noch ein paar Unklarheiten. Also im Link
> stand doch, ich soll drei Zahlen so konstruieren, dass x1
> <x2 <x3
... und mit weiteren Bedingungen. Sonst waers ja einfach :)
> . Muss ich das nicht allgemein beweisen, nicht durch
> Beispiele?
Ja, du musst das allgemein angeben. Jedoch kannst du trotzdem ohne Einschraenkung x2 = 0 setzen. Und dann musst du begruenden, warum es x1 < x2 und x3 > x2 gibt so, dass f(x1) und f(x3) ein anderes Vorzeichen wie f(x2) haben. Dazu rechne doch erstmal f(x2) = f(0) aus, und schau dir den Grenzwert von f(x) fuer $x [mm] \to \infty$ [/mm] und $x [mm] \to -\infty$ [/mm] an.
> Also wenn ich jetzt x1=0 setze,erfüllen x1 un x3 jeweils
> die Bedingung
> [mm]a_{n}<0[/mm] oder [mm]a_{n}[/mm] >0. Damit ist jetzt p(x1) <0, p(x2) >0
> und p(x3)<0.
Hae? Woher hast du x1 und x3 jetzt, und warum haben x1 und x3 irgendetwas mit [mm] $a_n<0$/$a_n>0$ [/mm] zu tun?!
> Daher hab ich mindestens zwei Nullstellen,
> nämlich in den Intervallen [x1,x2] und [x2,x3]. Ist das so
Sogar genauer: in den Intervallen ]x1,x2[ und ]x2,x3[.
> schon nachvollziehbar für Dritte oder fehlt noch ein
> Gedankengang?
>
> liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Franzie! Ich hab grad dein anderes Posting gelesen (hier) und hab dazu noch einen Kommentar:
Du schreibst, dass [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] P(x) = [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\to-\infty} [/mm] P(x) = [mm] -\infty$ [/mm] ist falls [mm] $a_n [/mm] > 0$: das ist jedoch falsch! Das gilt genau dann, wenn $n$ ungerade ist, aber in diese Aufgabe ist $n$ gerade!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 05.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Danke für die Hilfe! Den Rest werd ich jetzt allein zusammenbasteln.
Hat mir echt weitergeholfen.
liebe Grüße
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