Zyklische Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei G eine endliche Gruppe.
Zeigen Sie, dass der Durchschnitt zweier zyklischer Teilmengen von G zyklisch ist. |
Hallo,
Seien [mm] M_{1}, M_{2} [/mm] zyklische Gruppen, [mm] M_{1}== [/mm] { [mm] g_{1}^{k}| [/mm] k>0} [mm] M_{2}== [/mm] { [mm] g_{2}^{k}| [/mm] k>0}
[mm] e\in M_{1} [/mm] und [mm] e\in M_{2}, [/mm] da [mm] M_{1}, M_{2} [/mm] Gruppen sind
existiert ein k, so dass [mm] g_{1}^{k}=e [/mm] und [mm] g_{2}^{k}=e. [/mm]
Daraus folgt [mm] e\in M_{1} \cap M_{2} [/mm] und [mm] g_{1}^{k}, g_{2}^{k} \in M_{1}\cap M_{2}.
[/mm]
Damit ist meiner Meinung noch nicht gezeigt, dass der Durchschnitt eine zyklische Gruppe ist. Leider weiß ich nicht mehr weiter.
beste Grüße zahlenfreund
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Hallo,
Du hast Recht, das genügt nicht. Da jeder Beweis der Behauptung dasselbe Argument benötigt, wie die folgende allgemeinere Aussage, schlage ich vor, dass wir diese zeigen, denn dann werden wir nicht von unwichtigen Zusatzinformationen abgelenkt:
Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.
Eine Untergruppe einer Gruppe der Form $ G/N$ ist von der Form $ H/N $, wobei $ H$ eine Untergruppe von $ G $ ist. Somit ist eine Untergruppe von [mm] $\IZ/n\IZ [/mm] $ isomorph zu $ [mm] H/n\IZ [/mm] $, wobei $ H $ eine Untergruppe von [mm] $\IZ [/mm] $ ist. Wenn wir zeigen können, dass $ H $ ebenfalls von der Form $ [mm] m\IZ [/mm] $ und damit isomorph zu [mm] $\IZ [/mm] $ ist, wird die Behauptung folgen, denn Quotienten zyklischer Gruppen sind offensichtlich zyklisch.
Es sei $ m $ die kleinste positive Zahl aus $ H$. Überlege dir zunächst, weshalb $ [mm] m\IZ\subseteq [/mm] H $ gilt. Dann nimm an, dass es ein $ [mm] k\in [/mm] H $ gibt, das kein Vielfaches von $ m $ ist, etwa $ k=lm+r $ mit $0 <r [mm] \le [/mm] m-1$ und führe dies zu einem Widerspruch. Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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