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Hallo erstmal,
ich hab zwar bisher meine aufgaben immer gut allein lösen können aber die hier macht mich fertig...also wenn jemand die güte hätte...danke schön
also dann:
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element x [mm] \in [/mm] G gibt, so dass
G = [mm] {x^{n} | n \in \IN_{0} }
[/mm]
gilt. Zeigen Sie:
(a) Ist #G = [mm] \infty, [/mm] so ist G isomorph zu [mm] \IZ. [/mm] Im Falle #G = m ist G isomorph
zu [mm] \IZ_{m}.
[/mm]
(b) Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch. Bestimmen Sie alle Untergruppen
einer zyklischen Gruppe.
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Meinen Gruß!
Also... der Reihe nach:
> (a) Ist #G = [mm]\infty,[/mm] so ist G isomorph zu [mm]\IZ.[/mm] Im Falle
> #G = m ist G isomorph
> zu [mm]\IZ_{m}.
[/mm]
Ich hoffe mal mit [mm] $\IZ_m$ [/mm] ist eigentlich [mm] $\IZ [/mm] / m [mm] \IZ$ [/mm] gemeint... die erste Schreibweise ist etwas mißverständlich, ich muß dabei immer an Lokalisierungen denken.
Zunächst mal nimm an, dass $G$ unendlich viele Elemente besitzt. Dann nimm Dir das erzeugende Element $x [mm] \in [/mm] G$ her und definiere die Abbildung $f: [mm] \IZ \to [/mm] G$ durch $n [mm] \mapsto x^n$.
[/mm]
Dass $f$ ein Homomorphismus ist, ist klar.
Da $G$ zyklisch ist, folgt die Surjektivität auch sofort. Die Injektivität erhältst Du aus der Bedingung, dass $G$ unendlich viele Elemente hat.
Für den zweiten Teil ist es nützlich, zunächst zu zeigen, dass [mm] $x^m [/mm] = e$ gilt, wenn $G$ nur $m$ Elemente hat. Dann nimmst Du die Abbildung von oben und berechnest daraus den Kern - und dann wendest Du den Isomorphiesatz an und bist schon am Ziel.
> (b) Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch.
> Bestimmen Sie alle Untergruppen
> einer zyklischen Gruppe.
Das ist im Grunde schon Zahlentheorie - mit Hilfe von a) kannst Du alles auf [mm] $\IZ$ [/mm] bzw. Quotienten davon zurückführen. Die Untergruppen von [mm] $\IZ$ [/mm] sollten bekannt sein, es sind zugleich die Ideale, wenn man [mm] $\IZ$ [/mm] als Ring auffasst (logischerweise - $n [mm] \cdot [/mm] a$ heißt ja nur, dass man $a$ $n$-mal aufaddiert). Und als Hauptideale werden die alle von einzelnen Element erzeugt. Das Ganze auf den Quotienten projiziert sollte die Aufgabe lösen.
Ich habe jetzt ein paar Begriffe aus der Algebra benutzt, da ich nicht genau weiß, wie weit ihr in dieser seid - sollte Dir etwas nichtssagend vorkommen, ignoriere es einfach - oder frag nochmal nach. 
Viel Glück!
Lars
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